Đề bài
a] Chứng minh rằng với mọi số thực \[a,b,c,x,y,z\left[ {xyz \ne 0} \right]\], luôn có
\[{\left[ {ax + by + cz} \right]^2} \le \left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right]\left[ {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right].\]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \[\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} = \dfrac{c}{z}\].
b] Áp dụng. Cho \[{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2} = 6\]. Chứng minh rằng \[\left| {x + 2y + 3z} \right| \le 6.\]
Lời giải chi tiết
a] Cách 1. Từ đẳng thức
\[\begin{array}{l}\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right]\left[ {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right]\\ = {\left[ {ax + by + cz} \right]^2} + {\left[ {ay - bx} \right]^2} + {\left[ {bz - cy} \right]^2} + {\left[ {az - cx} \right]^2}\end{array}\]
dễ dàng suy ra
\[\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right]\left[ {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right] \ge {\left[ {ax + by + cz} \right]^2}\].
Đẳng thức xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}ay = bx\\bz = cy\\az = cx\end{array} \right.\] tức là \[\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} = \dfrac{c}{z}.\]
Cách 2.
\[\begin{array}{l}{\left[ {ax + by + cz} \right]^2} = {a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} + {c^2}{z^2} + 2abxy + 2acxz + 2bcyz\\ \le {a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} + {c^2}{z^2} + {a^2}{y^2} + {b^2}{x^2} + {a^2}{z^2} + {c^2}{x^2} + {b^2}{z^2} + {c^2}{y^2}\\ = \left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right]\left[ {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right].\end{array}\]
b]
\[\begin{array}{l}{\left[ {x + 2y + 3z} \right]^2}\\ = {\left[ {1.x + \sqrt 2 .\sqrt {2y} + \sqrt 3 .\sqrt {3z} } \right]^2}\\ \le \left[ {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right]\left[ {1 + 2 + 3} \right]\\ = 6.6 = 36.\end{array}\]
Vì vậy \[\left| {x + 2y + 3z} \right| \le 6\]