\[\eqalign{& {x_1} - {x_2} = \sqrt {{{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}^2} - 4{x_1}{x_2}} \cr & = \sqrt {{{\left[ {{{a + b} \over {ab}}} \right]}^2} - {4 \over {ab}}} = \sqrt {{{\left[ {{{a - b} \over {ab}}} \right]}^2}} = {{a - b} \over {ab}} \cr & {x_1} + {x_2} = {{a + b} \over {ab}} \cr} \]
Đề bài
Giả sử a, b là hai số thỏa mãn a > b > 0. Không giải phương trình
\[ab{x^2} - \left[ {a + b} \right]x + 1 = 0,\]
Hãy tính tỉ số giữa tổng hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của phương trình đó.
Lời giải chi tiết
Gọi \[{x_1},{x_2}\] là nghiệm của phương trình sau cho \[{x_1} > {x_2}\]
Khi đó, do a > b > 0 nên
\[\eqalign{& {x_1} - {x_2} = \sqrt {{{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}^2} - 4{x_1}{x_2}} \cr & = \sqrt {{{\left[ {{{a + b} \over {ab}}} \right]}^2} - {4 \over {ab}}} = \sqrt {{{\left[ {{{a - b} \over {ab}}} \right]}^2}} = {{a - b} \over {ab}} \cr & {x_1} + {x_2} = {{a + b} \over {ab}} \cr} \]
Suy ra tỉ số giữa tổng và hiệu hai nghiệm bằng \[\dfrac{{a + b}}{{a - b}}.\]