Giả sử hàm số \[y = f[x]\] là một hàm số bất kì có tính chất như thế. Khi đó với mọi \[x\] thuộc \[R\] ta có :
Đề bài
Có hay không một hàm số xác định trên R vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ?
Lời giải chi tiết
Dễ thấy hàm số \[y = 0\] là hàm số xác định trên \[R\], vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ.
Giả sử hàm số \[y = f[x]\] là một hàm số bất kì có tính chất như thế. Khi đó với mọi \[x\] thuộc \[R\] ta có :
\[f\left[ { - x} \right] = f\left[ x \right]\] [vì \[f\] là hàm số chẵn] ;
\[f\left[ { - x} \right] = - f\left[ x \right]\] [vì \[f\] là hàm số lẻ].
Từ đó suy ra với mọi \[x\] thuộc \[R\], xảy ra \[f[x] = -f[x]\], nghĩa là \[f[x] = 0\].
Vậy \[y = 0\] là hàm số duy nhất xác định trên \[R\], vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ.