Đề bài
Một cạnh tam giác có trung điểm là \[M[-1 ; 1]\]. Hai cạnh kia nằm trên các đường thẳng \[2x+6y+3=0\] và \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = t\end{array} \right.\]. Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh thứ ba của tam giác.
Lời giải chi tiết
[h.98].
Cách 1:
Xét tam giác \[ABC\] với phương trình các cạnh
\[AB: 2x + 6y + 3 = 0 ,\]
\[AC: \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = t\end{array} \right.\]
Và \[M[-1 ; 1]\] là trung điểm của cạnh \[BC\]. Khi đó, ta có hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = - 2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]\\{y_B} + {y_C} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[2]\\2{x_B} + 6{y_B} + 3 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,[3]\\{x_C} = 2 - t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[4]\\{y_C} = t \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[5]\end{array} \right.\]
Thay \[x_C, y_C\]từ [4], [5] vào [1] [2] và sau đó kết hợp với [3] ta được \[t = \dfrac{7}{4}\]. Do đó \[C = \left[ { \dfrac{1}{4} ; \dfrac{7}{4}} \right]\].
Suy ra \[\overrightarrow {MC} = \left[ { \dfrac{5}{4} ; \dfrac{3}{4}} \right] = \dfrac{1}{4}[5 ; 3]\]. Phương trình của đường thẳng \[BC\] là \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 5t'\\y = 1 + 3t'\end{array} \right.\].
Cách 2:
Từ phương trình của \[AB, AC\], ta tìm được tọa độ của \[A\] và suy ra tọa độ của \[D\] [\[D\] đối xứng với \[A\] qua \[M\]]. \[M\] là trung điểm của \[BC\] và \[AD\] nên \[ABCD\] là hình bình hành, do đó \[DC //AB\]. Từ đó viết được phương trình của \[DC\] và tìm được tọa độ của điểm \[C\]. Cuối cùng viết được phương trình của \[MC\] [hay phương trình của \[BC\]].