Đề bài
Chứng minh công thức \[\tan \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}\] [với \[0 < \alpha < \dfrac{\pi }{2}\]] bằng phương pháp hình học như sau:
Xét tam giác vuông ABC với \[\widehat A = \dfrac{\pi }{2},\widehat B = \alpha \]. Bằng cách vẽ đường phân giác BD của góc B [h. 6.5], từ tính chất \[\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{DC}}{{BC}}\], hãy suy ra rằng:
\[\tan \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}.\] Hãy tính \[\tan \dfrac{\pi }{{12}}\].
Lời giải chi tiết
Ta có
\[\begin{array}{l}\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{DC}}{{BC}} = \dfrac{{AC - AD}}{{BC}}\\ = \dfrac{{AC}}{{BC}} - \dfrac{{AD}}{{AB}}.\dfrac{{AB}}{{BC}}\end{array}\]
Từ đó \[\dfrac{{AD}}{{AB}}\left[ {1 + \dfrac{{AB}}{{BC}}} \right] = \dfrac{{AC}}{{BC}},\] tức là \[\tan \dfrac{\alpha }{2}\left[ {1 + \cos \alpha } \right] = \sin \alpha \], suy ra \[\tan \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}\].
Với \[\alpha = \dfrac{\pi }{6}\] ta được \[\tan \dfrac{\pi }{{12}} = \dfrac{1}{{2\left[ {1 + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right]}} = \dfrac{1}{{2 + \sqrt 3 }} = 2 - \sqrt 3 .\]