Đề bài
Cho hình thang ABCD [AB và CD là hai đáy và AB < CD], AD = BC = AB, \[\widehat {BDC} = {30^o}\] .
Tính các góc của hình thang.
Lời giải chi tiết
Ta có \[AD = AB\,\,\left[ {gt} \right] \Rightarrow \Delta ABD\] cân tại A \[ \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {ABD}\]
Mà \[\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\] [so le trong và AB // CD] và \[\widehat {BDC} = {30^0}\,\,\left[ {gt} \right]\] nên \[\widehat {ADB} = \widehat {ABD} = {30^0}\]
Ta có \[\widehat {ADC} = \widehat {ADB} + \widehat {BDC} = {30^0} + {30^0} = {60^0}\]
\[\widehat {BAD} + \widehat {ADC} = {180^0}\] [hai góc trong cùng phía và AB // CD]
Do đó \[\widehat {BAD} + {60^0} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BAD} = {180^0} - {60^0} = {120^0}\]
Trên cạnh CD lấy điểm E sao cho \[DE = AB\]
Hình thang ABED \[\left[ {AB//DE} \right]\] có \[AB = DE\]
\[ \Rightarrow BE//AD\] và \[BE = AD\]
\[BE = BC\,\,\left[ { = AD} \right] \Rightarrow \Delta BEC\] cân tại B \[ \Rightarrow \widehat {BEC} = \widehat {BCD}\]
Mặt khác \[\widehat {BEC} = \widehat {ADC}\] [đồng vị và AD // BE]
Do đó \[\widehat {BCD} = \widehat {ADC} = {60^0}\]
Mặt khác \[\widehat {ABC} + \widehat {BCD} = {180^0}\] [hai góc trong cùng phía và AB // CD]
Do đó \[\widehat {ABC} = {180^0} - \widehat {BCD} = {180^0} - {60^0} = {120^0}\]