Đề bài
Chứng minh rằng với \[n \in N*\]thì
\[\displaystyle1 + 2 + 3 + + n = {{n[n + 1]} \over 2}\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xét với \[n=1\], chứng minh đẳng thức đúng với \[n=1\].
- Giả sử đẳng thức đúng với \[n=k\ge 1\], chứng minh đẳng thức đúng với \[n=k+1\].
Lời giải chi tiết
- Khi \[n = 1, VT = 1\]
\[\displaystyle VP = {{1[1 + 1]} \over 2} = 1\]
- Giả sử đẳng thức đúng với \[n = k 1\], nghĩa là:
\[\displaystyle{S_k} = 1 + 2 + 3 + ... + k = {{k[k + 1]} \over 2}\]
Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với \[n = k + 1\], tức là:
\[\displaystyle {S_{k + 1}} = 1 + 2 + 3 + ... + k + [k + 1]\] \[\displaystyle = {{[k + 1][k + 2]} \over 2}\]
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
\[\displaystyle{S_{k + 1}} = {S_k} + [k + 1] \] \[\displaystyle = {{k[k + 1]} \over 2} + [k + 1]\]
\[\displaystyle= {{k[k + 1] + 2[k + 1]} \over 2}\] \[\displaystyle ={{[k + 1][k + 2]} \over 2}\]
Vậy đẳng thức đúng với mọi\[n \in N*\]