Đề bài
Cho đường thẳng a và vectơ \[\overrightarrow u \] có giá vuông góc với a. Gọi F là phép hợp thành của đối xứng trục Đa. Gọi F là phép hợp thành của đối xứng trục Đavà tịnh tiến \[{T_{\overrightarrow u }}\]. Với điểm M bất kì, gọi M = F[M] và I là trung điểm của MM.
a] Tìm quỹ tích của I khi M thay đổi.
b] Chứng minh rằng F là phép đối xứng trục.
Lời giải chi tiết
a] Nếu Đabiến điểm M thành N thì \[{T_{\overrightarrow u }}\] biến điểm N thành điểm M tức là \[\overrightarrow {NM'} = \overrightarrow u \]. Vì vectơ \[\overrightarrow u \] có giá vuông góc với a nên ba điểm M, N và M cùng nằm trên đường thẳng m vuông góc với a. Gọi J là trung điểm của MN thì J nằm trên a và ta có :
\[\eqalign{ & \overrightarrow {JI} = \overrightarrow {MI} - \overrightarrow {MJ} = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow {MM'} - \overrightarrow {MN} } \right] \cr & = {1 \over 2}\overrightarrow {NM'} = {{\overrightarrow u } \over 2}. \cr} \]
Như vậy I là ảnh của J qua phép tịnh tiến theo vectơ \[{{\overrightarrow u } \over 2}\], suy ra quỹ tích I là đường thẳng a ảnh của a qua phép tịnh tiến đó.
b] Từ câu a], ta suy ra a là trung trực của đoạn thẳng MM. Suy ra F là phép đối xứng trục với trục là đường thẳng a.