Giả sử hàm số \[f\] xác định trên một khoảng \[I\] chứa điểm \[{x_0}\] và \[[{x_n}]\] là một dãy số trong tập hợp \[I\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\] sao cho \[\lim {x_n} = {x_0}.\] Khi đó vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left| {f\left[ x \right]} \right| = 0\] nên \[\lim \left| {f\left[ {{x_n}} \right]} \right| = 0.\]Từ đó suy ra \[\lim f\left[ {{x_n}} \right] = 0.\] Vậy \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = 0\].
Đề bài
Chứng minh rằng nếu\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left| {f\left[ x \right]} \right| = 0\]thì\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = 0\].
Lời giải chi tiết
Giả sử hàm số \[f\] xác định trên một khoảng \[I\] chứa điểm \[{x_0}\] và \[[{x_n}]\] là một dãy số trong tập hợp \[I\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\] sao cho \[\lim {x_n} = {x_0}.\] Khi đó vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left| {f\left[ x \right]} \right| = 0\] nên \[\lim \left| {f\left[ {{x_n}} \right]} \right| = 0.\]Từ đó suy ra \[\lim f\left[ {{x_n}} \right] = 0.\] Vậy \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = 0\].