- LG a
- LG b
Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng
LG a
\[n\left[ {2{n^2} - 3n + 1} \right]\]chia hết cho 6
Lời giải chi tiết:
Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh
\[n\left[ {2{n^2} - 3n + 1} \right] \vdots \,6\] [1]
Với mọi \[n \in N^*\]
Với \[n = 1,\] ta có \[n\left[ {2{n^2} - 3n + 1} \right] = 0.\] Hiển nhiên \[0\; \vdots\; 6,\] và vì thế [1] đúng khi \[n = 1\]
Giả sử đã có [1] đúng khi \[n = k,k \in {N^ * }\], tức là \[k\left[ {2{k^2} - 3k + 1} \right] \;\vdots \;6,\] ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \[n = k + 1\]
Thật vậy, do \[\left[ {k + 1} \right]\left[ {2{{\left[ {k + 1} \right]}^2} - 3\left[ {k + 1} \right] + 1} \right] \]
\[= k\left[ {2{k^2} - 3k + 1} \right] + 6{k^2}\] nên từ gải thiết quy nạp suy ra \[\left[ {k + 1} \right]\left[ {2{{\left[ {k + 1} \right]}^2} - 3\left[ {k + 1} \right] + 1} \right] \;\vdots\; 6,\] nghĩa là [1] đúng khi \[n = k + 1\]
Từ các chứng minh trên suy ra [1] đúng với mọi \[n \in N^*.\]
LG b
\[{11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}\]chia hết cho 133
Lời giải chi tiết:
Ta sẽ chứng minh
\[{11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}\; \vdots \;133\] [2]
Với mọi \[n \in N^*,\] bằng phương pháp quy nạp.
Với \[n = 1,\] ta có \[{11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}} = {11^2} + 12 = 133.\] Vì thế [2] đúng khi \[n = 1.\]
Giả sử đã có [2] đúng khi \[n = k,k \in N^*,\] ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \[n = k + 1\]
Thật vậy ta có
\[\eqalign{
& {11^{[k + 1] + 1}} + {12^{2[k + 1] - 1}}\cr& = 11.\left[ {{{11}^{k + 1}} + {{12}^{2k - 1}}} \right] + {12^{2k - 1}}.[{12^2} - 11] \cr
& = 11.\left[ {{{11}^{k + 1}} + {{12}^{2k - 1}}} \right] + {133.12^{2k - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[3] \cr} \]
Mà \[{11^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}\; \vdots \;133\] [theo giả thiết quy nạp] nên từ [3] suy ra
\[{11^{[k + 1] + 1}} + {12^{2[k + 1] - 1}} \;\vdots \;133\]
Nghĩa là [2] đúng khi \[n = k + 1\]
Từ các chứng minh trên suy ra [2] đúng với mọi \[n \in N^*\]