- LG a
- LG b
- LG c
Chứng minh rằng hàm số sau đây là hàm số tuần hoàn, tìm chu kì và xét tính chẵn lẻ mỗi hàm số:
LG a
\[y = {1 \over {\sin x}}\]
Lời giải chi tiết:
\[y = {1 \over {\sin x}}\] là hàm số xác định trên \[{D_2}\].
Cần tìm số T thỏa mãn:
\[\forall x \in {D_2},x + T \in {D_2},x - T \in {D_2},\] \[{1 \over {\sin [x + T]}} = {1 \over {\sin x}}\]
Xét \[x = {\pi \over 2} \in {D_2}\], ta được \[\sin \left[ {{\pi \over 2} + T} \right] = 1,\] từ đó \[{\pi \over 2} + T = {\pi \over 2} + k2\pi ,\] tức \[T = k2\pi ,\] k là số nguyên.
Rõ ràng với mọi số nguyên k, số \[T = k2\pi \] thỏa mãn: \[\forall x \in {D_2},x + T \in {D_2},x - T \in {D_2}\] và \[{1 \over {\sin \left[ {x + T} \right]}} = {1 \over {\sin x}}\].
Vậy hàm số \[y = {1 \over {\sin x}}\] là một hàm tuần hoàn với chu kì \[2\pi \].
Đó là một hàm số lẻ.
LG b
\[y = {1 \over {\cos x}}\]
Lời giải chi tiết:
\[y = {1 \over {\cos x}}\] là hàm số xác định trên \[{D_1}\].
Cần tìm số T thỏa mãn:
\[\forall x \in {D_1},x + T \in {D_1},x - T \in {D_1}\], \] \[\[{1 \over {\cos \left[ {x + T} \right]}} = {1 \over {\cos x}}\].
Xét \[x = 0 \in {D_1},\] ta được \[\cos T = 1\], từ đó \[T = k2\pi ,\] k là số nguyên.
Rõ ràng với mọi số nguyên k, số \[T = k2\pi \] thỏa mãn các điều kiện đề ra.
Vậy hàm số \[y = {1 \over {\cos x}}\] là một hàm số tuần hoàn với chu kì \[2\pi \].
Đó là một hàm số chẵn.
LG c
\[y = {\tan ^2}x\]
Lời giải chi tiết:
\[y = {\tan ^2}x\], cần tìm số T thỏa mãn:
\[\forall x \in {D_1},x + T \in {D_1},x - T \in {D_1}\], \[{\tan ^2}\left[ {x + T} \right] = {\tan ^2}x.\]
Xét \[x = 0 \in {D_1},\] ta được \[{\tan ^2}T = 0,\] từ đó \[\tan T = 0,\] suy ra \[ T = k\pi \], k là số nguyên.
Rõ ràng với mọi số nguyên k, số \[T = k\pi \] thỏa mãn:
\[\forall x \in {D_1},x + T \in {D_1},x - T \in {D_1}\] và \[{\tan ^2}\left[ {x + T} \right] = {\tan ^2}\left[ {x + k\pi } \right] = {\tan ^2}x.\]
Vậy hàm số \[{\tan ^2}x\] là một hàm số tuần hoàn với chu kì \[\pi \].