Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ, cho đồ thị \[\left[ C \right]\] của hàm số \[y = 3x - 2.\]
Với mỗi số nguyên dương n, gọi \[{A_n}\] là giao điểm của đồ thị [C] và đường thẳng \[x = n\].
Xét dãy số \[[{u_n}]\] với \[u_n\] là tung độ của điểm \[A_n\]. Chứng minh rằng dãy số \[[{u_n}]\] là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.
Lời giải chi tiết
Với mỗi số \[n \in N^*,\] vì điểm \[{A_n}\] nằm trên đường thẳng \[x = n\] nên hoành độ của nó bằng n . Do \[{A_n}\] nằm trên đồ thị [C] nên tung độ \[{u_n}\] của nó được xác định bởi công thức
\[{u_n} = 3n - 2.\]
Như vậy, theo đề bài ta cần chứng minh dãy số \[[{u_n}]\], với \[{u_n} = 3n - 2\], là một cấp số cộng.
Xét hiệu \[{u_{n + 1}} - {u_n},\] ta có với mọi \[n \ge 1;\]
\[{u_{n + 1}} - {u_n} = [3.[n + 1] - 2]\]\[ - [3n - 2] = 3\].
Từ đó suy ra \[[{u_n}]\] là một cấp số cộng với số hạng đầu \[{u_1} = 3.1 - 2 = 1\] và công sai \[d = 3\].