Đề bài
Cho cấp số nhân \[[{u_n}]\] có \[6{u_2} + {u_5} = 1\] và \[3{u_3} + 2{u_4} = - 1.\] Hãy tìm số hạng đầu tổng quát của cấp số nhân đó.
Lời giải chi tiết
Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho, ta có
\[\left\{ \matrix{
6{u_2} + {u_5} = 1 \hfill \cr
3{u_3} + 2{u_4} = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}.[6q + {q^4}] = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\,[1] \hfill \cr
{u_1}.[3{q^2} + 2{q^3}] = - 1\,\,\,\,\,[2] \hfill \cr} \right.\]
Dễ thấy,\[{u_1}.q \ne 0\]. Do đó cộng theo vế [1] và [2] ta được
\[{q^3} + 2{q^2} + 3q + 6 = 0 \]
\[\Leftrightarrow \left[ {q + 2} \right]\left[ {{q^2} + 3} \right] = 0 \]
\[\Leftrightarrow q = - 2.\]
Từ đó suy ra
\[{u_1} = {1 \over 4}\] và \[q = - 2.\]
Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân đã cho là :
\[{u_n} = {1 \over 4} \times {[ - 2]^{n - 1}}.\]