- LG a
- LG b
Cho dãy số\[\left[ {{u_n}} \right]\]xác định bởi
\[\left\{ \matrix{
{u_1} = 1 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]\]
LG a
Chứng minh rằng\[{u_n} \ne - 4\]với mọi n.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp . Ta có \[{u_1} = 1 \ne - 4.\]
Giả sử \[{u_n} \ne - 4\]. Ta chứng minh \[{u_{n + 1}} \ne - 4.\] Thật vậy,
\[{u_{n + 1}} = - 4 \Leftrightarrow {{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} = - 4\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_n} \ne - 6 \hfill \cr
{u_n} - 4 = - 4\left[ {{u_n} + 6} \right] \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow {u_n} = - 4.\]
Điều này trái với với giả thiết quy nạp.
LG b
Gọi\[\left[ {{v_n}} \right]\]là dãy số xác định bởi
\[{v_n} = {{{u_n} + 1} \over {{u_n} + 4}}.\]
Chứng minh rằng\[\left[ {{v_n}} \right]\]là một cấp số nhân. Từ đó tìm giới hạn của dãy\[\left[ {{u_n}} \right]\].
Lời giải chi tiết:
\[{v_{n + 1}} = {{{u_{n + 1}} + 1} \over {{u_{n + 1}} + 4}} = {{{{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} + 1} \over {{{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} + 4}} = {{2{u_n} + 2} \over {5{u_n} + 20}} ={2 \over 5}.{u_n+1\over u_n+4}= {2 \over 5}{v_n}\] với mọi n.
Vậy dãy số \[\left[ {{v_n}} \right]\] là một cấp số nhân với công bội \[q = {2 \over 5}.\] Đó là một cấp số nhân lùi vô hạn.
Vì \[{v_n} = {v_1}{\left[ {{2 \over 5}} \right]^{n - 1}}\] với mọi n nên \[\lim {v_n} = 0.\]
Từ đẳng thức trong b] suy ra \[{u_n} = {{4{v_n} - 1} \over {1 - {v_n}}}.\] Do đó
\[\lim {u_n} = - 1.\]