Đề bài - câu 74 trang 128 sách bài tập hình học 11 nâng cao

\[\eqalign{ & \overrightarrow {{D_1}{A_1}} = {{k + 1} \over {1 - k}}\overrightarrow a - {k \over {1 - k}}\overrightarrow b \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 3 \right] \cr & \overrightarrow {{D_1}{C_1}} = {{\overrightarrow {{D_1}C} - k\overrightarrow {{D_1}D} } \over {1 - k}} \cr & = {{\overrightarrow {{D_1}D} + \overrightarrow {DC} - k\overrightarrow {{D_1}D} } \over {1 - k}} \cr & = \overrightarrow {{D_1}D} + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow c \cr} \]

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi \[{A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\] là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB, BC, CD, DA sao cho \[\overrightarrow {{A_1}A} = k\overrightarrow {{A_1}B} ,\overrightarrow {{B_1}B} = k\overrightarrow {{B_1}C} \] , \[\overrightarrow {{C_1}C} = k\overrightarrow {{C_1}D} ,\overrightarrow {{D_1}D} = k\overrightarrow {{D_1}A} \]. Với giá trị bào của k thì bốn điểm \[{A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\] cùng thuộc một mặt phẳng?

Lời giải chi tiết

Cách 1.

Đặt \[\overrightarrow {DA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC} = \overrightarrow c \] thì \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] không đồng phẳng.

Các điểm \[{A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\] cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi có các số m, n để

\[\overrightarrow {{D_1}{B_1}} = m\overrightarrow {{D_1}{A_1}} + n\overrightarrow {{D_1}{C_1}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]

Từ hệ thức \[\overrightarrow {{B_1}B} = k\overrightarrow {{B_1}C} \], ta có

\[\overrightarrow {{D_1}{B_1}} = {{\overrightarrow {{D_1}B} - k\overrightarrow {{D_1}C} } \over {1 - k}}\]

hay

\[\eqalign{ & \overrightarrow {{D_1}{B_1}} = {{\overrightarrow {{D_1}D} + \overrightarrow {DB} - k\left[ {\overrightarrow {{D_1}D} + \overrightarrow {DC} } \right]} \over {1 - k}} \cr & = \overrightarrow {{D_1}D} + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow b - {k \over {1 - k}}\overrightarrow c \cr} \]

Mặt khác

\[\eqalign{ & \overrightarrow {{D_1}D} = k\overrightarrow {{D_1}A} = k\left[ {\overrightarrow {{D_1}D} + \overrightarrow {DA} } \right] \cr & \Rightarrow \overrightarrow {{D_1}D} = {k \over {1 - k}}\overrightarrow a \cr} \]

Vậy \[\overrightarrow {{D_1}{B_1}} = {k \over {1 - k}}\overrightarrow a + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow b - {k \over {1 - k}}\overrightarrow c \].

Tương tự như trên, ta có

\[\eqalign{ & \overrightarrow {{D_1}{A_1}} = {{\overrightarrow {{D_1}A} - k\overrightarrow {{D_1}B} } \over {1 - k}} \cr & = {{\overrightarrow {{D_1}D} + \overrightarrow {DA} - k\left[ {\overrightarrow {{D_1}D} + \overrightarrow {DB} } \right]} \over {1 - k}} \cr & = \overrightarrow {{D_1}D} + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow a - {k \over {1 - k}}\overrightarrow b \cr} \]

hay

\[\eqalign{ & \overrightarrow {{D_1}{A_1}} = {{k + 1} \over {1 - k}}\overrightarrow a - {k \over {1 - k}}\overrightarrow b \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 3 \right] \cr & \overrightarrow {{D_1}{C_1}} = {{\overrightarrow {{D_1}C} - k\overrightarrow {{D_1}D} } \over {1 - k}} \cr & = {{\overrightarrow {{D_1}D} + \overrightarrow {DC} - k\overrightarrow {{D_1}D} } \over {1 - k}} \cr & = \overrightarrow {{D_1}D} + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow c \cr} \]

do đó \[\overrightarrow {{D_1}{C_1}} = {k \over {1 - k}}\overrightarrow a + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow c .\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 4 \right]\]

Từ [1], [2], [3], [4] ta có các điểm \[{A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\] cùng thuộc mặt phẳng khi và chỉ khi

\[k\overrightarrow a + \overrightarrow b - k\overrightarrow c \]

\[= \left[ {mk + nk + m} \right]\overrightarrow a - mk\overrightarrow b + n\overrightarrow c \]

Do \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] không đồng phẳng nên đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi có các số m, n để

\[\left\{ \matrix{ k = mk + nk + m \hfill \cr 1 = - mk \hfill \cr - k = n \hfill \cr} \right.\]

Điều đó tương đương với \[k = - 1 - {k^2} - {1 \over k}\] hay \[{k^3} + {k^2} + k + 1 = 0\] hay k = -1.

Vậy với k = -1 thì các điểm \[{A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\] cùng thuộc một mặt phẳng.

Cách 2.

Đặt \[\overrightarrow {DA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC} = \overrightarrow c \]. Tìm k để các điểm \[{A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\] cùng thuộc một mặt phẳng tương đương với việc tìm k để có biểu diễn

\[\overrightarrow {D{A_1}} = x\overrightarrow {D{B_1}} + y\overrightarrow {D{C_1}} + z\overrightarrow {{\rm{D}}{{\rm{D}}_1}} \]

với x + y + z = 1 [a]

Từ hệ thức \[\overrightarrow {{A_1}A} = k\overrightarrow {{A_1}B} \] ta có

\[\eqalign{ & \overrightarrow {D{A_1}} = {{\overrightarrow {DA} - k\overrightarrow {DB} } \over {1 - k}} \cr & = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow a - {k \over {1 - k}}\overrightarrow b \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right] \cr} \]

Tương tự như trên, ta cũng có

\[\overrightarrow {D{B_1}} = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow b - {k \over {1 - k}}\overrightarrow c \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]\]

Mặt khác từ \[\overrightarrow {{C_1}C} = k\overrightarrow {{C_1}D} \] ta có

\[\eqalign{ & \overrightarrow {{C_1}D} + \overrightarrow {DC} = k\overrightarrow {{C_1}D} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {D{C_1}} = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow c \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 3 \right] \cr} \]

Tương tự từ \[\overrightarrow {{D_1}D} = k\overrightarrow {{D_1}A} \], ta cũng có

\[\overrightarrow {{D_1}D} = {k \over {1 - k}}\overrightarrow a \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 4 \right]\]

Từ [1], [2], [3], [4], ta suy ra

\[\overrightarrow {D{A_1}} = - {1 \over k}\overrightarrow {{\rm{D}}{{\rm{D}}_1}} - k\overrightarrow {D{B_1}} - {k^2}\overrightarrow {D{C_1}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ b \right]\]

Từ [a] và [b] ta có các điểm \[{A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\] cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi:

\[\eqalign{ & - {1 \over k} - k - {k^2} = 1 \cr & \Leftrightarrow {k^3} + {k^2} + k + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow k = - 1 \cr} \]

Vậy với k = -1 thì các điểm \[{A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\] cùng thuộc một mặt phẳng.

Video liên quan

Bài Viết Liên Quan

Chủ Đề