Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], đường trung tuyến \[AM\]. Gọi \[D\] là trung điểm của \[AB, E\] là điểm đối xứng với \[M\] qua \[D\].
a] Chứng minh rằng điểm \[E\] đối xứng với điểm \[M\] qua \[AB\].
b] Các tứ giác \[AEMC, AEBM\] là hình gì? Vì sao?
c] Cho \[BC = 4cm\], tính chu vi tứ giác \[AEBM\].
d] Tam giác vuông \[ABC\], có điều kiện gì thì \[AEBM\] là hình vuông?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
- Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.
- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi
- Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
Lời giải chi tiết
a] \[ABC\]có \[MB = MC\] và \[BD = DA\] nên \[DM\] là đường trung bình , suy ra \[MD // AC\]
Ta lại có \[AC AB\] nên \[MD AB\]
Ta có\[MD AB\] [chứng minh trên] và \[MD=DE\] [vì\[E\] đối xứng với \[M\] qua \[D\]] nên \[AB\] là đường trung trực của \[ME\], do đó\[E\] đối xứng với \[M\] qua \[AB\].
b] Tứ giác\[AEMC\] có\[EM // AC\] và \[EM = AC\] [vì cùng bằng \[2DM\]] nên \[AEMC\] là hình bình hành.
Tứ giác\[AEBM\] có \[DA=DB\] và \[DM=DE\] nên là hình bình hành.
Hình bình hành \[AEBM\] có \[AB EM\] nên làhình thoi.
c] \[BC = 4 cm \] nên \[ BM = 2 cm\]
Tứ giác \[AEBM\] là hình thoi [câu b]] có chu vi bằng \[4.BM = 4. 2 = 8\;[cm]\]
d] Ta đã có \[AEBM\] là hình thoi [câu b]]
Hình thoi \[AEBM\] là hình vuông \[AM BM\] \[ABC\] có đường trung tuyến \[AM\] là đường cao \[ABC\] cân tại \[A\].
Vậy nếu tam giác vuông \[ABC\] có thêm điều kiện cân thì \[AEBM\] là hình vuông.