Đề bài
Cho hai đường thẳng d1: \[\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 5}}{4}\] và d2: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 7 + 3t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 1 - 2t}\end{array}} \right.\]
a] Chứng minh rằng d1 và d2 cùng nằm trong một mặt phẳng \[[\alpha ]\].
b] Viết phương trình của \[[\alpha ]\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Xem chi tiết tại đây.
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = \left[ {2; - 3;4} \right]\] và \[\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = [3;2; - 2]\]
\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = [ - 2;16;13]\]
Lấy điểm M1[1; -2; 5] trên d1 và điểm M2[7;2;1] trên d2.
Ta có \[\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = [6;4; - 4]\]; \[\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = - 12 + 64 - 52 = 0\]
Suy ra \[{d_1}\] và \[{d_2}\] cùng nằm trong mặt phẳng \[[\alpha ]\]
b] Mặt phẳng \[[\alpha ]\] chứa \[{M_1}\] và có vecto pháp tuyến là \[\overrightarrow n \] , vậy phương trình của \[[\alpha ]\] là:
\[ 2[x 1] +16[y + 2] + 13[z 5] = 0\] hay \[2x 16y 13z + 31 = 0\].