Đề bài
Tìm số phức \[z\] thỏa mãn hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 2i} \right| = \left| z \right|\\\left| {z - i} \right| = \left| {z - 1} \right|\end{array} \right.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đặt \[z = x + yi\] thay vào điều kiện đề bài tìm \[x,y\] và kết luận.
Lời giải chi tiết
Đặt \[z = x + yi \], ta được hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}\left| {x + yi - 2i} \right| = \left| {x + yi} \right|\\\left| {x + yi - i} \right| = \left| {x + yi - 1} \right|\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {x + \left[ {y - 2} \right]i} \right| = \left| {x + yi} \right|\\\left| {x + \left[ {y - 1} \right]i} \right| = \left| {x - 1 + yi} \right|\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + {{\left[ {y - 2} \right]}^2}} = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \\\sqrt {{x^2} + {{\left[ {y - 1} \right]}^2}} = \sqrt {{{\left[ {x - 1} \right]}^2} + {y^2}} \end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {[y - 2]^2} = {x^2} + {y^2}\\{x^2} + {[y - 1]^2} = {[x - 1]^2} + {y^2}\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - 4y + 4 = {x^2} + {y^2}\\
{x^2} + {y^2} - 2y + 1 = {x^2} - 2x + 1 + {y^2}
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4y + 4 = 0\\ - 2y + 1 = - 2x + 1\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 1}\\{x = y}\end{array}} \right. \Rightarrow x = 1,y = 1\]
Vậy \[z = 1 + i\].