Đề bài
\[\int {x\sqrt {x - 1} dx} \] bằng
A. \[{\left[ {x - 1} \right]^{\dfrac{5}{2}}} + {\left[ {x - 1} \right]^{\dfrac{3}{2}}} + C\]
B. \[\dfrac{2}{{15}}\left[ {3{{\left[ {x - 1} \right]}^{\dfrac{5}{2}}} - 5{{\left[ {x - 1} \right]}^{\dfrac{3}{2}}}} \right] + C\]
C. \[\dfrac{2}{{15}}\left[ {3{{\left[ {x - 1} \right]}^{\dfrac{5}{2}}} + 5{{\left[ {x - 1} \right]}^{\dfrac{3}{2}}}} \right] + C\]
D. \[\dfrac{1}{{15}}\left[ {3{{\left[ {x - 1} \right]}^{\dfrac{5}{2}}} + 5{{\left[ {x - 1} \right]}^{\dfrac{3}{2}}}} \right] + C\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đổi biến \[t = \sqrt {x - 1} \] và tính nguyên hàm.
Lời giải chi tiết
Đặt \[t = \sqrt {x - 1} \Rightarrow {t^2} = x - 1\] \[ \Rightarrow 2tdt = dx\]
Khi đó \[\int {x\sqrt {x - 1} dx} \]\[ = \int {\left[ {{t^2} + 1} \right].t.2tdt} \] \[ = 2\int {\left[ {{t^4} + {t^2}} \right]dt} \] \[ = 2\left[ {\dfrac{{{t^5}}}{5} + \dfrac{{{t^3}}}{3}} \right] + C\]
\[ = 2\left[ {\dfrac{{{{\left[ {\sqrt {x - 1} } \right]}^5}}}{5} + \dfrac{{{{\left[ {\sqrt {x - 1} } \right]}^3}}}{3}} \right] + C\] \[ = \dfrac{2}{{15}}\left[ {3{{\left[ {x - 1} \right]}^{\dfrac{5}{2}}} + 5{{\left[ {x - 1} \right]}^{\dfrac{3}{2}}}} \right] + C\].
Chọn C.