Đề bài
Hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích của mặt cầu đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xác định tâm mặt cầu, giao của trung trực của SA với trục đường tròn chính [SO].
- Tính bán kính mặt cầu dựa vào các kiến thức hình học đã biết.
Lời giải chi tiết
Giả sử ta có mặt cầu tâm I đi qua các đỉnh S, A, B, C của hình chóp. Mặt phẳng [ABC] cắt mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo giao tuyến là đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì SA = SB = SC nên ta có \[\displaystyle SO \bot [ABC]\]và OS là trục của đường tròn tâm O.
Do đó \[\displaystyle SO \bot AO\]. Trong tam giác SAO, đường trung trực của đoạn SA cắt SO tại I và ta được hai tam giác vuông đồng dạng là SIM và SAO, với M là trung điểm của cạnh SA.
Ta có \[\displaystyle {{SI} \over {SA}} = {{SM} \over {SO}} = {{SA} \over {2SO}}\] với \[SI = IA = IB = IC = r\]
Vậy\[\displaystyle r = SI = {{S{A^2}} \over {2SO}} = {{{a^2}} \over {2h}}\]
Do đó diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC đã cho là :
\[\displaystyle S = 4\pi {r^2} = 4\pi {[{{{a^2}} \over {2h}}]^2}\] \[\displaystyle = \pi {{{a^4}} \over {{h^2}}}\]