Đề bài
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là:
A[a; 0 ; 0], B[0; b; 0] , C[0; 0; c]
Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức \[\cos \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\] và nhận xét nếu \[\cos \alpha > 0\] thì \[\alpha \] nhọn.
Lời giải chi tiết
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = [ - a;b;0]\] và \[\overrightarrow {AC} = [ - a;0;c]\]
\[\begin{array}{l}
\cos \widehat {BAC} = \cos \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\\
= \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \dfrac{{{a^2}}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} > 0\\
\Rightarrow \widehat {BAC} < {90^0}\\
\overrightarrow {BA} = \left[ {a; - b;0} \right],\overrightarrow {BC} = \left[ {0; - b;c} \right]\\
\cos \widehat {ABC} = \cos \left[ {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right]\\
= \dfrac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \dfrac{{{b^2}}}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} > 0\\
\Rightarrow \widehat {ABC} < {90^0}\\
\overrightarrow {CA} = \left[ {a;0; - c} \right],\overrightarrow {CB} = \left[ {0; - b; - c} \right]\\
\Rightarrow \cos \widehat {BCA} = \cos \left[ {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right]\\
= \dfrac{{\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} }}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|}} = \dfrac{{{c^2}}}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|}} > 0\\
\Rightarrow \widehat {BCA} < {90^0}
\end{array}\]
Vậy tam giác ABC có ba góc nhọn.