- LG câu a
- LG câu b
Rút gọn các biểu thức:
LG câu a
\[ \displaystyle{{\sqrt a + \sqrt b } \over {\sqrt a - \sqrt b }} + {{\sqrt a - \sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }}\] với \[a \ge 0,b \ge 0\] và \[a \ne b\]
Phương pháp giải:
Áp dụng hằng đẳng thức:
\[{[a - b]^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\]
\[{[a + b]^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[ \displaystyle{{\sqrt a + \sqrt b } \over {\sqrt a - \sqrt b }} + {{\sqrt a - \sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }} \] \[ \displaystyle= {{{{\left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right]}^2} + {{\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]}^2}} \over {\left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right]\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]}}\]
\[ \displaystyle = {{a + 2\sqrt {ab} + b + a - 2\sqrt {ab} + b} \over {a - b}}\]
\[ \displaystyle = {{2[a + b]} \over {a - b}}\] [với \[a \ge 0,b \ge 0\] và \[ a \ne b\]]
LG câu b
\[ \displaystyle{{a - b} \over {\sqrt a - \sqrt b }} - {{\sqrt {a^3} - \sqrt {{b^3}} } \over {a - b}}\] với \[a \ge 0,b \ge 0\] và \[a \ne b\]
Phương pháp giải:
Áp dụng hằng đẳng thức:
\[a^2-b^2=[a-b][a+b]\]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[ \displaystyle{{a - b} \over {\sqrt a - \sqrt b }} -{{\sqrt {a^3} - \sqrt {{b^3}} } \over {a - b}}\]
\[ \displaystyle={{[a - b][\sqrt a + \sqrt b]} \over {[\sqrt a - \sqrt b].[\sqrt a + \sqrt b] }} \]\[ \displaystyle-{{\sqrt {a^2.a} - \sqrt {{b^2.b}} } \over {a - b}}\]
\[ \displaystyle = {{[a - b][\sqrt a + \sqrt {b]} } \over {{{\left[ {\sqrt a } \right]}^2} - {{\left[ {\sqrt b } \right]}^2}}} - {{a\sqrt a - b\sqrt b } \over {a - b}}\]
\[ \displaystyle = {{a\sqrt a + a\sqrt b - b\sqrt a - b\sqrt b } \over {a - b}} - {{a\sqrt a - b\sqrt b } \over {a - b}}\]
\[ \displaystyle = {{a\sqrt a + a\sqrt b - b\sqrt a - b\sqrt b - a\sqrt a + b\sqrt b } \over {a - b}}\]
\[ \displaystyle = {{a\sqrt b - b\sqrt a } \over {a - b}}\] [với \[a \ge 0,b \ge 0\] và \[a \ne b\]]
Chú ý: Ta cũng có thể biến đổi tiếp \[ \displaystyle {{a\sqrt b - b\sqrt a } \over {a - b}}\] như sau:
\[ \displaystyle {{a\sqrt b - b\sqrt a } \over {a - b}}\]\[ \displaystyle = {{\sqrt {a^2b} - \sqrt {ab^2} } \over {[\sqrt a - \sqrt b].[\sqrt a + \sqrt b]}}\]
\[ \displaystyle = {{\sqrt {ab} .[ \sqrt {a}- \sqrt {b}] } \over {[\sqrt a - \sqrt b].[\sqrt a + \sqrt b]}}\]
\[ \displaystyle = {{\sqrt {ab} } \over {\sqrt a + \sqrt b}}\]