- LG a
- LG b
- LG c
LG a
Một lớp có \[50\] học sinh. Tính số cách phân công \[4\] bạn quét sân trường và \[5\] bạn xén cây bằng hai phương pháp để rút ra đẳng thức
\[C_{50}^9.C_9^4 = C_{50}^4.C_{46}^5.\]
Phương pháp giải:
Ta có: \[VT\] là \[C_{50}^9.C_9^4\] nghĩa là quy tắc nhân của hai hành động:
- Hành động thứ nhất là cách chọn \[9\] bạn từ \[50\] bạn
- Hành động thứ hai là cách chọn \[4\] bạn từ \[9\] bạn.
\[VT\] là \[C_{50}^4.C_{46}^5\] nghĩa là quy tắc nhân của hai hành động
- Hành động thứ nhất là cách chọn \[4\] bạn từ \[50\] bạn
- Hành động thứ hai là cách chọn \[5\] bạn từ \[46\] bạn.
Từ đó ta rút ra được hai cách để phân công các bạn đi làm việc
-Cách thứ nhấtlà chọn \[9\] bạn trong \[50\] bạn trước rồi chọn \[4\] bạn quét sân, \[5\] bạn kia sẽ xén cây.
-Cách thứ hailà chọn luôn \[4\] bạn trong \[50\] bạn quét sân, và \[5\] trong \[46\] bạn còn lại xén cỏ.
Để tính số cách chọn ra \[9\] bạn làm việc cho hai cách ta sử dụng tổ hợp và quy tắc nhân.
Lời giải chi tiết:
Cách thứ nhất: Chọn \[9\] bạn nam trong \[50\] bạn để làm trực nhật. Có \[C_{50}^9\] cách.
Khi đã chọn được \[9\] bạn rồi, chọn \[4\] trong \[9\] bạn đó để quét sân. Có \[C_9^4\] cách.
Từ đó, theo quy tắc nhân, có \[C_{50}^9.C_9^4\] cách phân công.
Cách thứ hai: Chọn \[4\] trong \[50\] bạn để quét sân, sau đó chọn \[5\] trong \[46\] bạn còn lại để xén cây. Vậy có \[C_{50}^4.C_{46}^5\] cách phân công.
Từ đó ta có đẳng thức cần chứng minh.
LG b
Chứng minh công thức Niu-tơn
\[C_n^r.C_r^k = C_n^k.C_{n - k}^{r - k}.{\rm{ }}\left[ {n \ge r \ge k \ge 0} \right].\]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \[C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k![n - k]!}}\] để chứng minh công thức Niu-tơn.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[VT = C_n^rC_r^k \]
\[= \dfrac{{n!}}{{r![n - r]!}}\dfrac{{r!}}{{k![r - k]!}}\]
\[=\dfrac{{n!}}{{ [n - r]!k![r - k]!}} \]
\[VT = C_n^kC_{n-k}^{r-k}= \]
\[\dfrac{{n!}}{{k![n - k]!}}\dfrac{{[n-k]!}}{{[r-k]![n-k-[r - k]]!}}\]
\[= \dfrac{{n!}}{{k![n - k]!}}\dfrac{{[n-k]!}}{{[r-k]![n-r]!}}\]
\[=\dfrac{{n!}}{{ k![r - k]![n - r]!}} \]
\[=VT\text{[đpcm]}\]
Cách khác:
Xét bài toán: Một lớp có n học sinh. Tính số cách để chọn ra r bạn trực nhật mà có k bạn quét sân và r-k bạn xén cây.
Giải:
Cách 1:
Số cách chọn ra r bạn trong n bạn là \[C_n^r\]
Số cách chọn ra k trong r bạn để quét sân là \[C_r^k\].
Sau khi chọn xong k bạn quét sân thì các bạn còn lại tự động vào nhóm xén cây nên có 1 cách.
Do đó có \[C_n^r.C_r^k\] cách chọn.
Cách 2:
Số cách chọn k bạn để quét sân trong số n học sinh của lớp là \[C_n^k\].
Số cách chọn r-k bạn xén cây trong số n-k bạn còn lại là \[C_{n - k}^{r - k}\].
Theo quy tắc nhân có \[C_n^k.C_{n - k}^{r - k}\] cách chọn.
Vậy \[C_n^r.C_r^k = C_n^k.C_{n - k}^{r - k}\]
LG c
Tìm chữ số ở hàng đơn vị của tổng
\[S = 0! + 2! + 4! + 6! + ... + 100!.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \[\text{P}=\text{n}!=1.2.3.4\text{n}\] để tìm chữ số tận cùng của từng số hạng rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[0! = 1\]; \[2! = 2\]; \[4! = 1.2.3.4 = 24\]; \[6!=1.2.3.4.5.6=720\] [tận cùng là \[0\]];...
Tương tự với các số hạng tiếp theo ta có các số hạng \[6!\]; \[8!\];...\[100!\] đều có tận cùng là chữ số \[0\]. Vì trong biểu thức khai triển tính giai thừa có \[4\times5=20\] [tận cùng là \[0\]]. Do đó chữ số ở hàng đơn vị của \[S\] là \[1 + 2 + 4 = 7\].