- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số
LG a
\[y = 3 - 2\left| {\sin x} \right|\]
Phương pháp giải:
Hàm số \[y = \sin x\] có \[ - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\]
\[ \Leftrightarrow 0 \le \left| {\sin x} \right| \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}0 \le \left| {\sin x} \right| \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le - 2\left| {\sin x} \right| \le 0\\ \Leftrightarrow 3 - 2 \le 3 - 2\left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right| \le 3\\ \Leftrightarrow 1 \le 3 - 2\left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right| \le 3\end{array}\]
Vậy GTLN của hàm số \[y = 3 - 2\left| {\sin x} \right|\] là 3 đạt được khi
\[\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\]
GTNN của hàm số \[y = 3 - 2\left| {\sin x} \right|\] là 1 đạt được khi
\[\sin x = \pm 1 \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
LG b
\[y = \cos x + \cos \left[ {x - \dfrac{\pi }{3}} \right]\]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức phân tích tổng thành tích thu gọn hàm số.
Sử dụng lý thuyết\[ - 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\] để đánh giá biểu thức ở trên.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\cos x + \cos \left[ {x - \dfrac{\pi }{3}} \right]\]
\[\begin{array}{l} = 2\cos \left[ {x - \dfrac{\pi }{6}} \right]\cos \dfrac{\pi }{6}\\ = \sqrt 3 \cos \left[ {x - \dfrac{\pi }{6}} \right]\end{array}\]
Do \[ - 1 \le \cos [x - \dfrac{\pi }{6}] \le 1\]
\[ \Leftrightarrow - \sqrt 3 \le \sqrt 3 \cos [x - \dfrac{\pi }{6}] \le \sqrt 3 \]
Vậy hàm số \[y = \cos x + \cos \left[ {x - \dfrac{\pi }{3}} \right]\] có GTLN là \[\sqrt 3 \] đạt được khi \[\cos \left[ {x - \dfrac{\pi }{6}} \right] = 1\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{6} = k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array}\]
GTNN là\[ - \sqrt 3 \] đạt được khi \[\cos \left[ {x - \dfrac{\pi }{6}} \right] = - 1\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{6} = \pi + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array}\]
LG c
\[y = {\cos ^2}x + 2\cos 2x\]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nhân đôi để thu gọn biểu thức
Sử dụng lý thuyết\[ - 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\]để đánh giá biểu thức ở trên.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[{\cos ^2}x + 2\cos 2x\]
\[\begin{array}{l} = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} + 2\cos 2x\\ = \dfrac{{1 + 5\cos 2x}}{2}\end{array}\]
Do \[ - 1 \le \cos 2x \le 1\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 5 \le 5\cos 2x \le 5\\ \Leftrightarrow 1 - 5 \le 1 + 5\cos 2x \le 1 + 5\\ \Leftrightarrow \dfrac{{1 - 5}}{2} \le \dfrac{{1 + 5\cos 2x}}{2} \le \dfrac{{1 + 5}}{2}\\ \Leftrightarrow - 2 \le \dfrac{{1 + 5\cos 2x}}{2} \le 3\end{array}\]
Vậy hàm số \[y = {\cos ^2}x + 2\cos 2x\] có GTLN là \[3\]
đạt được khi \[\cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \]
\[ \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\]
GTNN là \[ - 2\] đạt được khi \[\cos 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi \]
\[ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\]
LG d
\[y = \sqrt {5 - 2{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x} \]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nhân đôi để thu gọn biểu thức
Hàm số \[y = \sin x\] có \[ - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 0 \le \left| {\sin x} \right| \le 1\\ \Leftrightarrow 0 \le {\sin ^2}x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[5 - 2{\cos ^2}x{\sin ^2}x = 5 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x\]
Do \[0 \le {\sin ^2}2x \le 1\]
\[\begin{array}{l}\Leftrightarrow - 1 \le - {\sin ^2}2x \le 0{\rm{ }}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} \le - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 0{\rm{ }}\\ \Leftrightarrow 5 - \dfrac{1}{2} \le 5 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 5\\ \Leftrightarrow \dfrac{9}{2} \le 5 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 5\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2} \le \sqrt {5 - \dfrac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \le \sqrt 5 \end{array}\]
Vậy hàm số \[y = \sqrt {5 - 2{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x} \] có GTLN là \[\sqrt 5 \] đạt được khi \[ - {\sin ^2}2x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 0\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x = k\pi \\ \Leftrightarrow x = k\dfrac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\end{array}\]
GTNN là \[\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\] đạt được khi \[ - {\sin ^2}2x = - 1 \Leftrightarrow \sin 2x = \pm 1\]
\[ \Leftrightarrow 2x = \pm \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \]
\[\Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{4} + k\pi \]
\[\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\].