Đề bài
Cho tam giác \[ABC\]. Gọi \[I\] là trung điểm của \[BC\], \[K\] là trung điểm của \[BI\].
Chứng minh rằng:
a] \[\overrightarrow {AK} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AI} \];
b] \[\overrightarrow {AK} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC} \].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức trung điểm \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \] với \[I\] là trung điểm của \[AB\].
Lời giải chi tiết
a] Vì \[K\] là trung điểm của \[BI\] nên \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} = 2\overrightarrow {AK} \] \[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AK} = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} } \right]\][1]
b] Vì \[I\] là trung điểm của \[BC\] nên \[\overrightarrow {AI} = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right]\][2]
Thay [2] vào [1] ta được:
\[\overrightarrow {AK} = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right]} \right]\]\[ = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC} \] \[ = \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC} \]
Vậy \[\overrightarrow {AK} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC} \].