- LG câu a
- LG câu b
Trong mặt phẳng \[Oxy\] cho đường thẳng \[d\] có phương trình \[3x - 2y - 6 = 0\]
LG câu a
Viết phương trình của đường thẳng \[{d_1}\] là ảnh của \[d\] qua phép đối xứng qua trục \[Oy\]
Phương pháp giải:
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục \[Oy\]: \[\left\{ \begin{array}{l}x' = - x\\y' = y\end{array} \right.\].
Lời giải chi tiết:
Với mỗi điểm \[M\left[ {x;y} \right]\] bất kì thuộc \[d\], gọi \[M'\left[ {x';y'} \right] = {D_{Oy}}\left[ M \right]\]
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}x' = - x\\y' = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - x'\\y = y'\end{array} \right.\].
Mà \[M\left[ {x;y} \right] \in d:3x - 2y - 6 = 0\] nên \[3.\left[ { - x'} \right] - 2.y' - 6 = 0\] hay \[3x' + 2y' + 6 = 0\].
Vậy \[{d_1}:3x + 2y + 6 = 0\].
LG câu b
Viết phương trình của đường thẳng \[{d_2}\] là ảnh của \[d\] qua phép đối xứng qua đường thẳng \[\Delta \] có phương trình \[x + y - 2 = 0\].
Phương pháp giải:
Tìm giao điểm \[A\] của \[d\] và \[\Delta \].
- Lấy một điểm \[B \in d\], tìm ảnh \[B'\] của \[B\] qua \[{D_\Delta }\].
- Viết phương trình \[AB'\] và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Dễ thấy \[\Delta \] và \[d\] cắt nhau do \[\dfrac{3}{1} \ne \dfrac{{ - 2}}{1}\] nên gọi \[A\left[ {x;y} \right] = d \cap \Delta \].
Tọa độ của \[A\] thỏa mãn hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y - 6 = 0\\x + y - 2 = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 6\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow A\left[ {2;0} \right]\].
Lấy \[B\left[ {0; - 3} \right] \in d\], gọi \[B'\left[ {x;y} \right] = {D_\Delta }\left[ B \right]\], ta tìm tọa độ \[B'\].
Gọi \[{d_3}\] là đường thẳng qua \[B\left[ {0; - 3} \right]\] và vuông góc \[\Delta \]. Khi đó \[\overrightarrow {{n_{{d_3}}}} \bot \overrightarrow {{n_d}} \Rightarrow \overrightarrow {{n_{{d_3}}}} = \left[ {1; - 1} \right]\].
Phương trình \[{d_3}:1\left[ {x - 0} \right] - 1\left[ {y + 3} \right] = 0\] hay \[x - y - 3 = 0\].
Gọi \[H = \Delta \cap {d_3}\] thì tọa độ của \[H\] thỏa mãn hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\x - y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{2}\\y = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow H\left[ {\dfrac{5}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right]\].
Mà \[B' = {D_\Delta }\left[ B \right]\] nên \[H\] là trung điểm của \[BB'\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = 2{x_H} - {x_B}\\{y_{B'}} = 2{y_H} - {y_B}\end{array} \right.\]
hay
\[\left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = 2.\dfrac{5}{2} - 0 = 5\\{y_{B'}} = 2.\left[ { - \dfrac{1}{2}} \right] - \left[ { - 3} \right] = 2\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow B'\left[ {5;2} \right]\].
Đường thẳng \[{d_2}\] đi qua hai điểm \[A\left[ {2;0} \right]\] và \[B'\left[ {5;2} \right]\] nên có phương trình \[\dfrac{{x - 2}}{{5 - 2}} = \dfrac{{y - 0}}{{2 - 0}}\] hay \[2x - 3y - 4 = 0\].
Vậy \[{d_2}:2x - 3y - 4 = 0\].