De thi học sinh giỏi Toán 7 huyện Hoằng Hóa
|
đề thi hsg toán lớp 7 huyện hoằng hóa
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (228.17 KB, 12 trang ) đề thi HSG toán 7 huyện hoằng hoá 2 2 a/ Tìm đa thức M biết rằng : M + ( 5 x 2 xy ) = 6 x + 9 xy y x2 + y 2 + 3 b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B = 2 2 x + y +2 c/ Tìm x, y, z biết : x y y z = ; = và x y + z = 49 2 3 5 4 Câu 3 (5,0 điểm) a/ Tìm hai số hữu tỷ a và b biết a b = 2 ( a + b ) = a : b b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của bểu thức : M = 2012 x + 2013 x c/ Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2002 là số chính phơng. Câu 4 (4,0 điểm) : Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A : ABD, ACE sao cho AB = AD, AE = AC. Kẻ AH vuông góc với BC, DM vuông góc với AH, EN vuông góc với AH. a/ Chứng minh DM = AH b/ Chứng minh MN đi qua trung điểm của DE Câu 5 (2,0 điểm) : Cho tam giác đều ABC. M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MA : MB : MC = 3:4:5. Tính số đo góc AMB. Hết Đáp án Toán 7 Nội dung Câu Điểm 1 1 1 7 7 25 22 15 + ữ+ a/ M = 2 + 3,5 ữ: 4 + 3 ữ+ 7,5 = + ữ: Câu 1 4,5 7 7 2 3 6 3 2 6 35 43 15 35 42 15 245 15 490 645 155 69 M= : + = . + = + = + = =1 6 42 2 6 43 2 43 2 86 86 86 86 2 ( 2 x 3 ) = 4 2 2 x 3 = 4 x = 3,5 2 2 x 3 = 16 => => => ) b/ ( x = 0,5 . 2 x 3 = 4 ( 2 x 3 ) 2 = ( 4 ) 2 1,5 1,5 Vậy : x = 3,5 ; x = -0,5 2012 2014 c/ ( 2 x 5) + ( 3 y + 4 ) 0 ( 2 x 5 ) 2012 0 2012 2014 => ( 2 x 5 ) + ( 3y + 4) 0 Ta có : 2014 0 ( 3 y + 4 ) 2012 2014 2012 2014 Mà ( 2 x 5) + ( 3 y + 4 ) 0 => ( 2 x 5) + ( 3 y + 4 ) = 0 1 ( 2 x 5 ) 2012 = 0 x = 2 2 => => . Vậy 2014 =0 ( 3 y + 4 ) y = 1 1 3 1,5 1 x = 2 2 y = 1 1 3 2 2 2 2 2 2 a/ M + ( 5 x 2 xy ) = 6 x + 9 xy y => M = 6 x + 9 xy y ( 5 x 2 xy ) Câu 2 => M = 6 x 2 + 9 xy y 2 5 x 2 + 2 xy = x 2 + 11xy y 2 4,5 x2 + y 2 + 3 x2 + y 2 + 2 + 1 1 = 2 = 1+ 2 b/ B = 2 2 2 2 1,5 x + y +2 x + y +2 x + y +2 2 2 B lớn nhất khi x + y + 2 nhỏ nhất. x 2 0 => x 2 + y 2 + 2 2 => x 2 + y 2 + 2 nhỏ nhất bằng 2, khi x = Ta có 2 y 0 1,5 y=0 3 1 =1 2 2 x y y z x y y z c/ = ; = => = ; = => 2 3 5 4 10 15 15 12 Khi đó B lớn nhất = 1,5 x y z x y+z 49 = = = = = 7 10 15 12 10 15 + 12 7 => x = -70 ; y = -105 ; z = -84 Câu 3 a/ Tìm hai số hữu tỷ a và b biết: a b = 2 ( a + b ) = a : b (1) 5,0 Từ a b = 2 ( a + b ) => a b = 2a + 2b => a = 3b => a = 3b Mặt khác : a b = a : b => 3b b = 3b : b => 4b = 3 => b = 3 4 => a = 3. = 9 . 4 2,0 3 4 Vậy : a = 9 3 ;b = 4 4 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của bểu thức : M = 2012 x + 2013 x Sử dụng : A + B A + B . Dấu = xảy ra khi A,B cùng dấu. (*) Ta có : 1,5 M = 2012 x + 2013 x = 2012 x + x 2013 2012 x + x 2013 = 1 = 1 Vậy M (min) = 1 khi ( 2012 - x)(x 2013) 0 => 2012 x 2013 Nhận xét : Nếu số chính phơng chia hết cho a ( là số nguyên tố) thì nó chia hết cho a2 Giả sử A = n2 + 2002 là số chỉnh phơng. - Xét trờng hợp 1 : n là số chẵn => n = 2k => n2 = 4k2=> A = n2 + 2002 = 4k2 + 2002 Ta có : 4k2 chia hết cho 2 , 2002 chia hết cho 2 => A chia hết cho 2 => A chia hết cho 4. Do 4k2 chia hết cho 4, còn 2002 không chia hết cho 4 => A không chia hết cho 4(loại) - Xét trờng hợp 2 : n là số lẻ => n = 2k +1 => A là số chính phơng lẻ, có dạng (2b + 1)2 = 4b2 + 4b + 1 chia cho 4 d 1. Mà : A = (2k + 1)2 + 2002 = 4k2 + 4k + 2003 chia cho 4 d 3 ( loại) Vậy không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2002 là số chính phơng Câu 4 Hình vẽ 4,0 E N 1 I M D 3 1 1 A 4 2 B H a/ Chứng minh DM = AH Xét MAD và HBA có ãAMD = BHA ã = 900 (gt) (1) AD = AB (gt) (2) C 1,5 2,0 ả +à D A1 = 900 1 à ả => D1 = A2 (3) 0 à ả A1 + A2 = 90 Từ 1,2,3 => MAD = HBA (Cạnh huyền góc nhọn) => DM = AH ( Hai cạnh tơng ứng)(ĐPCM) (4) b/ Chứng minh MN đi qua trung điểm của DE Chứng minh tơng tự câu a => EN = AH (5) Gọi giao điểm của MN và DE là I C/m đợc : MID = NIE (Cạnh góc vuông góc nhọn) 2,0 ID = IE (Hai cạnh tơng ứng) I là trung điểm của DE => MN đi qua trung điểm I của DE (ĐPCM) A Do MA : MB : MC = 3 : 4 : 5 => Đặt MA MB MC = = =a 3 4 5 1 N => MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a Trên nửa mặt phẳng bờ AC dựng tam giác đều AMN => AM = AN = MN = 3a và ãAMN = 600 Xét ABN và ACM có AB = AC (gt) (1) ; AN = AM = 3a (2) Câu 5 2,0 à ả = 60 A1 + A 2 à à => A1 = A3 (3) 0 ảA + à A3 = 60 2 3 2 3a M 0 4a 5a 2,0 Từ 1,2,3 => ABN = ACM (c.g.c) => BN = CN = 5a. Xét BMN có BN2 = (5a)2 = 25a2 B BM2 + MN2 = (4a)2 + (3a)2 = 25a2 => BN2 = BM2 + MN2 => BMN vuông tại M (đ/l pytago đảo) ã => NMB = 900 ã Suy ra : ãAMB = ãAMN + NMB = 900 + 600 = 1500 Phòng giáo dục và đào tạo Huyện Hoằng hóa C đề thi học sinh giỏi - năm học 2011-2012 Môn toán - lớp 7 Thời gian làm bài : 120 phú t( không kể thời gian giao đề) Bài 1( 4.0 điểm): a) Cho biểu thức : M = a + 2ab b . Tính giá trị của M với a = 1,5 ; b = - 0,75. b) Xác định dấu của c, biết rằng 2a 3bc trái dấu với 3a 5b 3 c 2 . Bài 2( 4.0 điểm): x y y z a) Tìm các số x, y, z biết rằng: 3 = 4 ; 3 = 5 và 2x 3y + z = 6. b) Cho dãy tỉ số bằng nhau : 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = . a b c d a+b b+c c+d d +a Tính giá trị của biểu thức M, với M = c + d + d + a + a + b + b + c . Bài 3( 3.0 điểm): Cho hàm số y = f(x) = 2 x2. 1 a) Hãy tính : f(0) ; f( 2 ) b) Chứng minh : f(x 1) = f(1 x) Bài 4( 4.0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng trung tuyến AM. Qua A kẻ đờng thẳng d vuông góc với AM. Qua M kẻ các đờng thẳng vuông góc với AB và AC, chúng cắt d theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng: a) BD // CE. b) DE = BD + CE. Bài 5( 3.0 điểm): Tìm tỉ số của A và B, biết rằng: 1 1 1 1 + + ... + + ... + 1.1981 2.1982 n.(1980 + n) 25.2005 1 1 1 1 B= + + ... + + ... + 1.26 2.27 m.(25 + m) 1980.2005 A= Trong đó A có 25 số hạng và B có 1980 số hạng. Bài 6( 2.0 điểm): Cho tam giác ABC cân. Trên cạnh đáy 1 ã BC lấy điểm D sao ã BAD < CAD. cho: CD = 2 BD. Chứng minh rằng: 2 ................... Hết ..................... Phòng giáo dục và đào tạo Hoằng hóa Cõu Hớng dẫn chấm toán lơp 7 HD chm a.(2.5) Ta cú: a = 1,5 a = 1,5 hoc a = 1,5 Vi a = 1,5 v b = -0,75 thỡ M = a + 2ab b = 1,5 + 2.1,5.(- 0,75) = 0 Cõu 1 3 2 3 5 3 2 Do 2a bc v 3a b c trỏi du nờn : a 0; b 0; c 0 Vi a = - 1,5 v b = - 0,75 thỡ M = a + 2ab b = b. (1.5) im 0.5 1.0 1.0 (4,0đ) 2a 3 bc .( − 3a 5 b 3 c 2 ) < 0. Vậy c > 0 tức là mang dấu dương. 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ a( 2.0đ). 0.5đ ⇔ −6a8b 4 c 3 < 0 ⇔ a8b 4 c 3 > 0 ⇔ c 3 > 0 ⇔ c > 0 ( vì a8b4 > 0 với mọi a ≠ 0; b ≠ 0 ) Câu 2 (4,0 đ) x y x y y z y z vì = ⇒ = ; = ⇒ = 3 4 9 12 3 5 12 20 x y z 2x 3y z ⇒ = = ⇒ = = 9 12 20 18 36 20 0.5đ Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 2x 3y z 2x − 3 y + z 6 = = = = =3 18 36 20 18 − 36 + 20 2 0.5đ Suy ra x = 27; y = 36; z = 60. b.(2đ) Từ giả thiết suy ra 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d −1 = −1 = −1 = −1 a b c d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d ⇒ = = = a b c d 0.25đ 0.25đ * Nếu a + b + c + d = 0 thì a + b = - (c + d); b + c = - (d + a); c + d = - ( a + b); d + a = - ( b + c) Khi đó M = (- 1) + (- 1) +(- 1) +(- 1) = - 4 0.25đ 0.5đ * Nếu a + b + c + d ≠ 0 thì 1 1 1 1 = = = nên a = b = c = d a b c d Khi đó M = 1 + 1 + 1 +1 = 4 Câu 3. (3,0 đ) 0.5đ 0.25đ 0.5đ 1.0đ 1.0đ a.(2.0đ) f(0) = 2 – 02 = 2; 1 2 1 2 f( − ) = 2 – (− ) 2 = 7 4 b.(1.0đ) f(x – 1) = 2 – ( x – 1 )2; f(1 – x ) = 2 – ( 1 – x )2 do (x – 1) và (1 – x) là hai số đối nhau nên bình phương bằng nhau. Vậy 2 – ( x – 1 )2 = 2 – ( 1 – x )2 hay f(x – 1) = f(1 – x). 0.25 đ 0.25 đ 0.5đ Câu 4 (4,0 đ) Câu 5 (3,0 đ) a. (2,5đ) Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông: MA = MB. Gọi H là giao điểm của MD và AB. Tam giác cân AMB có MH đường cao ứng với đáy A nên là đường trung trực, suy ra : DA = DB. D Chứng minh được ∆MBD = ∆MAD(c.c.c) suy ra góc MBD = góc MAD = 900; H do đó DB ⊥ BC M B Tương tự ta có : EC ⊥ BC Vậy BD // CE (vì cùng vuông góc với BC), đpcm. d 0.5đ E 0.5đ 0.25đ C b. (1,5đ) Theo câu a, DB = DA. Tương tự, EC = EA. Suy ra DE = DA + AE = BD + CE. Ta có : 1 1 1 1 = ( − ) n(1980 + n) 1980 n 1980 + n 1 1 1 1 = ( − ) m(25 + m) 25 m 25 + m 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ Áp dụng tính A và B ta được: 1 1 1 1 1 1 1 ( − + − + ... + − ) 1980 1 1981 2 1982 25 2005 1 1 1 1 1 1 1 = [( + + ... + ) − ( + + ... + )] 1980 1 2 25 1981 1982 2005 1 1 1 1 1 1 1 B= ( − + − + ... + − ) 25 1 26 2 27 1980 2005 1 1 1 1 1 1 1 = [( + + ... + )−( + + ... + )] 25 1 2 1980 26 27 2005 1 1 1 1 1 1 1 = [( + + ... + ) − ( + + ... + )] 25 1 2 25 1981 1982 2005 A 1 1 5 : = Vậy = B 1980 25 396 A= Câu 6 (2,0 đ) Gọi M là trung điểm của DC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Ta có hai tam giác AMC và EMD bằng nhau · Vì MD = MC, MA = ME, ·AMC = EMD . · Nên DE = AC, và góc µA3 = DEM . B Mặt khác , ¶ >B µ ( theo tính chất góc ngoài tam giác) D 1 mà Bµ = Cµ ( vì tam giác ABC cân, đáy BC) ¶ >C µ suy ra AC > AD. nên D 1 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ A 0.25đ 1 23 1 M C 0.25đ D 0.25đ E 0.25đ 0.25đ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN 0.25đ thi: 16/03/2015 · Từ đó DE > DA, suy ra ¶A2 > DEM ,hay ¶A2 > µA3 Ngày . Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Vì µA3 = µA1 ( do ∆ABD = ∆ACM ) µ |
