Đề thi vào lớp 10 chuyên toán lam sơn 2008-2009 năm 2024

Bạn đang xem tài liệu "Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn môn Toán - Năm học 2009-2010 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn môn Toán - Năm học 2009-2010 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

1. SỞ GD VÀ ĐT KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC: 2009 - 2010 Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 Câu 1: (2,0 điểm) 1 1. Cho số x x R;x 0 thoả mãn điều kiện: x2 + = 7 x2 1 1 Tính giá trị các biểu thức: A = x3 + và B = x5 + x3 x5 1 1 2 2 x y 2. Giải hệ phương trình: 1 1 2 2 y x 2 Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: ax bx c 0 (a 0 ) có hai nghiệm x1,x 2 thoả mãn điều kiện: 0 x1 x 2 2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2a 2 3ab b2 Q 2a 2 ab ac Câu 3: (2,0 điểm) 1 1. Giải phương trình: x 2 + y 2009 + z 2010 = (x y z) 2 2. Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p2 +1 và 6p2 +1 cũng là số nguyên tố. Câu 4: (3,0 điểm)) 1. Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E . Một đường thẳng quaA, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng EM và BN. Chứng minh rằng: CK  BN . 2. Cho đường tròn (O) bán kính R=1 và một điểm A sao cho OA= 2 .Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm).Một góc xOy có số đo bằng 450 có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E. Chứng minh rằng: 2 2 2 DE 1. Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức P a 2 b2 c2 d2 ac bd ,trong đó ad bc 1 . Chứng minh rằng: P 3 . Hết
2. SỞ GD VÀ ĐT KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC: 2009 - 2010 Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 (Đáp án này gồm 04 trang) Câu ý Nội dung Điểm 1 1 1 1 0.25 Từ giả thiết suy ra: (x + )2 = 9 x + = 3 (do x > 0) x x 1 1 1 1 1 0.25 21 = (x + )(x2 + ) = (x3 + ) + (x + ) A = x3 + =18 x x2 x3 x x3 2 1 3 1 5 1 1 7.18 = (x + 2 )(x +3 ) = (x +5 ) + (x + ) 0.25 x x x x 1 B = x5+ = 7.18 - 3 = 123 0.25 x5 2 1 1 1 1 Từ hệ suy ra 2 2 (2) 0.5 x y y x 1 1 1 1 Nếu thì 2 2 nên (2) xảy ra khi và chỉ khi x=y x y y x thế vào hệ ta giải được x=1, y=1 0.5 2 b c 0.25 Theo Viét, ta có: x x , x .x . 1 2 a 1 2 a 2 b b 2a 2 3ab b2 2 3. Khi đó Q = a a ( Vì a 0) 2a 2 ab ac b c 2 0.25 a a 2 3(x x ) (x x )2 0.25 = 1 2 1 2 2 (x1 x 2 ) x1x 2 2 2 0.25 Vì 0 x1 x 2 2 nên x1 x1x 2 và x 2 4 2 2 2 x1 x 2 x1x 2 4 x1 x 2 3x1x 2 4 0.25 2 3(x x ) 3x x 4 Do đó Q 1 2 1 2 3 0.25 2 (x1 x 2 ) x1x 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 x2 2 hoặc x1 0,x 2 2 0.25
3. b 4 a c 4 c b 4a a 0.25 Tức là b 2a Vậy maxQ=3 b 2 c 0 a c 0 a 3 1 ĐK: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010 0.25 Phương trình đã cho tương đương với: x + y + z = 2x 2 +2y 2009 +2 z 2010 0.25 (x 2 - 1)2 + (y 2009 - 1)2 + (z 2010 - 1)2 = 0 0.25 x 2 1 0 x 3 0.25 y 2009 1 0 y 2008 z 2010 1 z 2011 2 Nhận xét: p là số nguyên tố 4p2 + 1 > 5 và 6p2 + 1 > 5 Đặt x = 4p2 + 1 = 5p2- (p - 1)(p + 1) y = 6p2 + 1 4y = 25p2 – (p - 2)(p + 2) 0.25 Khi đó: - Nếu p chia cho 5 dư 4 hoặc dư 1 thì (p - 1)(p + 1) chia hết cho 5 x chia hết cho 5 mà x > 5 x không là số nguyên tố 0.25 - Nếu p chia cho 5 dư 3 hoặc dư 2 thì (p - 2)(p + 2) chia hết cho 5 4y chia hết cho 5 mà UCLN(4, 5) = 1 y chia hết cho 5 mà y > 5 y không là số nguyên tố 0.25 Vậy p chia hết cho 5, mà p là số nguyên tố p = 5 Thử với p =5 thì x =101, y =151 là các số nguyên tố Vậy: p =5 0.25 4
4. A I B 1. K E M D C N Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho IB = CM 0.25 Ta có IBE = MCE (c.g.c). Suy ra EI = EM , MEC BEI MEI vuông cân tại E 0.25 Suy ra EMI 450 BCE IB CM MN 0.25 Mặt khác: IM // BN AB CB AN BCE EMI BKE tứ giác BECK nội tiếp 0.25 BEC BKC 1800 0.25 Lại có: BEC 900 BKC 900 . Vậy CK  BN 0.25 2. B O D x x M A E C y Vì AO = 2 , OB=OC=1 và ABO=ACO=900 suy ra OBAC là hình vuông 0.25 Trên cung nhỏ BC lấy điểm M sao cho DOM = DOB MOE=COE 0.25 Suy ra MOD= BOD DME=900 0 MOE= COE EMO=90 0.25 suy ra D,M,E thẳng hàng, suy ra DE là tiếp tuyến của (O). Vì DE là tiếp tuyến suy ra DM=DB, EM=EC Ta cú DE
5. x y 2 1- (x+y) = xy suy ra DE2 + 4.DE - 4 0 4 DE 2 2 2 0.25 Vậy 2 2 2 DE<1 5. Ta có: (ac bd)2 (ad bc)2 a 2c2 2abcd b2d2 a 2d2 2abcd b2c2 a 2 c2 d2 b2 d2 c2 a 2 b2 c2 d2 2 Vì ad bc 1 nên 1 (ac bd) a 2 b2 c2 d2 (1) Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm a 2 b2 ; c2 d2 có: 0.25 P a 2 b2 c2 d2 ac bd 2 a 2 b2 c2 d2 ac bd P 2 1 ac bd 2 ac bd (theo (1)) Rõ ràng P 0 vì: 2 1 ac bd 2 ac bd 2 0.25 Đặt x ac bd ,ta có: P 2 1 x2 x 0.25 P2 4 1 x2 4x 1 x2 x2 1 x2 4x 1 x2 4x2 3 2 1 x2 2x 3 3 Vậy P 3 0.25

Bạn đang xem nội dung tài liệu Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa năm học 2008-2009 môn: Toán (dành cho học sinh thi vào lớp chuyên TIn), để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC: 2008-2009 Đề chính thức MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang Ngày thi: 16 tháng 6 năm 2008 Câu 1: (1,5 điểm) Cho phương trình : 4x2 + x - = 0 (1) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm trái dấu. Gọi x1 là nghiệm dương của phương trình (1). Chứng minh rằng: Câu 2: (2,0 điểm) Cho hệ phương trình: Giải hệ khi a = 1, b=2. Tìm a sao cho hệ có nghiệm với mọi giá trị của b. Câu 3: (1,5 điểm) Cho phương trình: (x2 - 1)(x + 3)(x + 5) = m. (2) Tìm m sao cho phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thoả mãn: . Câu 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm, K là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC. Hai trung tuyến AM và HN của tam giác AHC cắt nhau tại I. Hai đường trung trực của các đoạn thẳng AC và HC cắt nhau tại J. Chứng minh rằng tam giác AHB và tam giác MNJ đồng dạng Chứng minmh rằng: KH.KA Tính tỉ số . Câu 5: (1,0 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x4 + y4 – 7 = xy(3 - 2xy). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tích xy. ------ Hết -------