Đề bài
Cho phương trình chứa ẩn ở mẫu sau: \[\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}} = \dfrac{4}{{{x^2} - 1}}\]
a] Tìm điều kiện xác định của phương trình
b] Quy đồng hai vế rồi khử mẫu thức
c] Giải phương trình vừa nhận được.
d] Đối chiếu điều kiện xác định với các kết quả vừa tìm được và kết luận nghiệm.
Lời giải chi tiết
\[\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}} = \dfrac{4}{{{x^2} - 1}}\]
a] Điều kiện xác định của phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ne 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\x \ne 1\end{array} \right.\]
b]
\[\begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}} = \dfrac{4}{{{x^2} - 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 1} \right] + \left[ {x + 1} \right]}}{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]}} = \dfrac{4}{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]}}\\ \Leftrightarrow \left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 1} \right] + \left[ {x + 1} \right] = 4\end{array}\]
c] Phương trình trở thành:
\[\begin{array}{l}\left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 1} \right] + \left[ {x + 1} \right] = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + x + 1 - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0;\\\,\,a = 1;b = - 1;c = - 2\\a - b + c = 1 + 1 - 2 = 0\end{array}\]
Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \[{x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{c}{a} = 2\]
d] Ta thấy \[ x = -1\] [không thỏa mãn điều kiện]
\[x = 2\] [thỏa mãn điều kiện]
Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất là \[x = 2.\]