Đề bài
Cho góc vuông \[xOy\], điểm \[A\] nằm trong góc đó. Gọi \[B\] là điểm đối xứng với \[A\] qua \[Ox\], gọi \[C\] là điểm đối xứng với \[A\] qua \[Oy\]. Chứng minh rằng điểm \[B\] đối xứng với điểm \[C\] qua \[O\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hai điểm \[A\] và \[A'\] gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng \[d\] nếu \[d\] là đường trung trực của \[AA'\]
Chứng minh\[B\] đối xứng với điểm \[C\] qua \[O\] tức là chứng minh\[O\] là trung điểm của \[BC\]
Lời giải chi tiết
\[A\] đối xứng với \[B\] qua \[Ox\] [giả thiết] nên \[Ox\] là đường trung trực của \[AB\]
\[ \Rightarrow \] \[OA = OB\] [tính chất đường trung trực của đoạn thẳng] [1]
\[\Rightarrow \Delta AOB\]cân tại \[O\] [dấu hiệu nhận biết tam giác cân]
Do đó \[Ox\] vừa là đường trung trực đồng thời là phân giác của\[ \Delta AOB\]
\[ \Rightarrow \]\[\widehat O_1=\widehat O_2\] [3]
\[A\] đối xứng với \[C\] qua \[Oy\][giả thiết]nên \[Oy\] là đường trung trực của \[AC\]
\[ \Rightarrow \] \[OA = OC\] [tính chất đường trung trực của đoạn thẳng] [2]
\[\Rightarrow\Delta AOC\]cân tại \[O\] [dấu hiệu nhận biết tam giác cân]
Do đó \[Oy\] vừa là đường trung trực đồng thời là phân giác của\[ \Delta AOC\]
\[ \Rightarrow \] \[\widehat O_3=\widehat O_4\] [4]
Từ [3] và [4]\[ \Rightarrow \] \[\widehat O_1+\widehat O_2+\widehat O_3+\widehat O_4\]\[=2\widehat O_2+2\widehat O_3=2[\widehat O_2+\widehat O_3]\]\[=2\widehat {xOy}=2.90^0=180^0\]
Do đó \[B, O, C\] thẳng hàng [**]
Từ [1] và [2]\[ \Rightarrow \] \[OB = OC\] [*]
Từ [*] và [**]\[ \Rightarrow \] \[B\] đối xứng với \[C\] qua \[O\].