I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Định nghĩa
Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:
\[at + b = 0\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
Trong đó, \[a,b\] là các hằng số \[\left[ {a \ne 0} \right]\] và \[t\] là một trong các hàm số lượng giác.
2. Cách giải
Chia cả hai vế cho \[a\] ta được được \[\left[ 1 \right]\] về phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ:
\[\begin{array}{l}2\cos x - \sqrt 3 = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos x = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \cos \frac{\pi }{6}\\ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array}\]
3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Ví dụ:
\[\begin{array}{l}5\sin x - \sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow 5\sin x - 2\sin x\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \sin x\left[ {5 - 2\cos x} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\5 - 2\cos x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos x = \frac{5}{2}\left[ {VN\,vi\,\frac{5}{2} > 1} \right]\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in Z\end{array}\]
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Định nghĩa
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
\[a{t^2} + bt + c = 0\,\,\left[ {a \ne 0} \right]\]
Trong đó \[a,b,c\] là các hằng số và \[t\] là một trong số các hàm số lượng giác.
2. Cách giải
- Đặt ẩn phụ và điều kiện cho ẩn [nếu có].
- Giải phương trình với ẩn phụ.
- Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ:
\[{\tan ^2}x - \tan x - 2 = 0\,\,\left[ 1 \right]\]
Đặt \[t = \tan x\] thì [1] là:
\[{t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 2\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - 1\\\tan x = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan 2 + k\pi \end{array} \right.,k \in Z\end{array}\]
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI \[\sin x\] VÀ \[\cos x\]
Xét phương trình\[a\sin x + b\cos x = c\]
+] Chia hai vế phương trình cho \[\sqrt {{a^2} + {b^2}} \]
+] Gọi \[α\] là góc lượng giác tạo bởi chiều dương của trục hoành với vecto \[\overrightarrow {OM} = [a;b]\]thì phương trình trở thành một phương trình đã biết cách giải:
\[\sin [x + \alpha ] = {c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
Chú ý :Để phương trình \[\sin [x + a] = {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]có nghiệm, điều kiện cần và đủ là
\[\left| {{{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right| \le 1\]
\[\Leftrightarrow \left| c \right| \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \]
\[\Leftrightarrow {c^2} \le {a^2} + {b^2}\]
Đó cũng là điều kiện cần và đủ để phương trình \[a\sin x + b\cos x = c\] có nghiệm.