1. Phương trình lượng giác cơ bản
a] Phương trình \[\sin x = a\]
+] Nếu \[\left| a \right| > 1\] thì phương trình vô nghiệm.
+] Nếu \[\left| a \right| \le 1\] thì phương trình \[\sin x = a\] có các nghiệm \[x = \arcsin a + k2\pi \] và\[x = \pi - \arcsin a + k2\pi \]
Đặc biệt:
+] \[\sin f[x] = \sin \alpha \] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f[x] = \alpha + k2\pi \\f[x] = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left[ {k \in Z} \right]\]
+] \[\sin f[x] = \sin {\beta ^0}\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f[x] = \beta ^0 + k{360^0}\\f[x] = {180^0} - \beta ^0+ k{360^0}\end{array} \right.\left[ {k \in Z} \right]\]
b] Phương trình \[\cos x = a\]
+] Nếu \[\left| a \right| > 1\] thì phương trình vô nghiệm.
+] Nếu \[\left| a \right| \le 1\] thì phương trình \[\cos x = a\] có các nghiệm \[x = \arccos a + k2\pi \] và \[x = - \arccos a + k2\pi \]
Đặc biệt:
+] \[\cos f[x] = \cos \alpha \] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f[x] = \alpha + k2\pi \\f[x] = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left[ {k \in Z} \right]\]
+] \[\cos f[x] = \cos {\beta ^0}\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f[x] = \beta ^0 + k{360^0}\\f[x] = - \beta ^0 + k{360^0}\end{array} \right.\left[ {k \in Z} \right]\]
c] Phương trình \[\tan x = a\]
Phương trình luôn có nghiệm \[x = \arctan a + k\pi \].
Đặc biệt:
+] \[\tan x = \tan \alpha \] \[ \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left[ {k \in Z} \right]\]
+] \[\tan x = \tan {\beta ^0}\] \[ \Leftrightarrow x = {\beta ^0} + k{180^0}\]
d] Phương trình \[\cot x = a\]
Phương trình luôn có nghiệm \[x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} a + k\pi \].
Đặc biệt:
+] \[\cot x = \cot \alpha \] \[ \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left[ {k \in Z} \right]\]
+] \[\cot x = \cot {\beta ^0}\] \[ \Leftrightarrow x = {\beta ^0} + k{180^0},k \in Z\]
e] Các trường hợp đặc biệt
* Phương trình\[\sin x = a\]
\[ + \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ;\]
\[ + \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\]
\[ + \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\]
* Phương trình\[\cos x = a\]
\[ + \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \]
\[ + \cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \]
\[ + \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \]
2. Một số chú ý khi giải phương trình.
- Khi giải phương trình lượng giác có chứa \[\tan ,\cot \], chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,thì cần đặt điều kiện cho ẩn.
- Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.