Đề bài
Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số \[m\], hàm số
\[y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}m{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1\]
luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
B1: Tính \[y'\]
B2: Chứng tỏ phương trình \[y'=0\] luôn có 2 nghiệm phân biệt, với mọi m
Từ đó suy ra dấy của\[y'\] và sự tồn tại cực đại cực tiểu.
Lời giải chi tiết
TXĐ: \[D = \mathbb R.\]
Ta có: \[y'{\rm{ }} = {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2mx{\rm{ }}-{\rm{ }}2{\rm{ }}\]
Xét phương trình: \[3{x^2}-2mx-2=0\]
Có: \[\Delta ' = {\rm{ }}{m^{2}} - [-2].3 ={\rm{ }}{m^{2}} +6 > {\rm{ }}0 \,\,\forall m \]
\[\Rightarrow\] phương trình \[y = 0\] luôn có hai nghiệm phân biệt \[x_1, x_2\].
Giả sử\[x_1 < x_2\], ta có bảng biến thiên:
Dễ thấy hàm số đạt cực đại tại \[x=x_1\] và đạt cực tiểu tại \[x=x_2\].
Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.