Bài tập về chương hệ phương trình tuyến tính
0% found this document useful (0 votes) 134 views 18 pages Copyright© © All Rights Reserved Available FormatsPDF, TXT or read online from Scribd Share this documentDid you find this document useful?0% found this document useful (0 votes) 134 views18 pages Chương 2 - Hệ Phương Trình Tuyến TínhChương 2: H ệ phương trình tuyế n tính Trang | 1 Ph ần 1. ĐẠ I S Ố TUY Ế N TÍNH Gv: Phan Ngô Tu ấ n Anh Khoa Toán – Th ố ng Kê, UEH Chương 2. H ệ phương tr ình tuy ế n tính
ộ t ví d ụ d ẫ n v ề h ệ phương tr ình tuy ế n tính M ột nhà đầu tư dự đị nh dùng s ố ti ền 500000$ để mua 3 lo ạ i c ổ phi ế u là A, B, C. Bi ế t r ằ ng, C ổ phi ế u A có giá là 50$ và cho l ợ i nhu ận hàng năm là 12% C ổ phi ế u B có giá là 70$ và cho l ợ i nhu ận hàng năm là 16% C ổ phi ế u C có giá là 30$ và cho l ợ i nhu ận hàng năm là 9% Nhà đầu tư dự tính mua c ổ phi ế u B nhi ề u g ấ p 3 l ầ n c ổ phi ế u C. N ế u nhà đầu tư mu ố n l ợ i nhu ậ n c ủ a vi ệ c mua c ổ phi ế u là 14% thì c ầ n mua c ổ phi ế u A,B,C v ớ i s ố lượ ng bao nhiêu? G ọ i 123 x,x,x l ần lượ t là s ố c ổ phi ếu A,B,C đượ c mua thì: T ổ ng s ố ti ề n mua c ổ phi ế u là 123 50x70x30x , ph ả i b ằ ng v ớ i s ố v ốn đầu tư ban đầ u là 500000$, ngh ĩa l à: 123 )50x70x30x50000(10 S ố c ổ phi ếu B đượ c mua nhi ề u g ấ p 3 l ầ n s ố c ổ phi ế u C, ngh ĩa l à: 23 (2)x3x T ổ ng l ợ i nhu ậ n đầu tư c ổ phi ế u là 123123 50x12%70x16%30x9%6x11.2x2.7x b ằ ng v ớ i l ợ i nhu ậ n mong mu ố n là 50000014%70000 , ngh ĩa l à: 123 )6x11.2x2.7x70000(3 T ừ (1),(2),(3) ta có h ệ phương tr ình: 12323123 5(0x70x30x500000 x3x06x11.2x2.7x7(1)2)(0300)0 M ỗi phương tr ình trong h ệ phương tr ình trên là b ậ c nh ấ t đố i v ớ i các ẩ n 123 x,x,x nên ta g ọ i h ệ phương tr ình này h ệ phươn g trình tuy ế n tính. Trong ph ầ n sau, ta s ẽ kh ả o sát h ệ phương tr ình tuy ế n tính t ổ ng quát, cùng v ới phương pháp giả i và điề u ki ệ n có nghi ệ m c ủ a h ệ . II. Đị nh ngh ĩa hệ phương tr ình tuy ế n tính M ộ t h ệ phương tr ình tuy ế n tính (linear equation system) g ồm m phươn g trình, n ẩ n có d ạ ng t ổ ng quát nh ư sau : Chương 2: H ệ phương trình tuyế n tính Trang | 2 1111221nn12112222nn2m11m22mnnm axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb t rong đó, 12n x,x,,x là n ẩ n s ố (unknowns) và iji a, b là các h ằ ng s ố . Nghi ệ m (solution) c ủ a h ệ thường đượ c vi ết dướ i d ạng véc tơ 12n (x,x,,x) N ế u toàn b ộ v ế ph ả i c ủ a h ệ đề u b ằ ng 0, ngh ĩa l à i b0 i thì ta có h ệ phương tr ình thu ầ n nh ấ t (homogeneous system): 1111221nn2112222nnm11m22mnn axaxax0axaxax0axaxax0 (h ệ thu ầ n nh ấ
ĩ nhi ên, h ệ thu ầ n nh ấ t luôn có s ẵ n nghi ệ m O(0,0,,0) , đượ c g ọ i là nghi ệ m t ầm thườ ng (trivial solution) ho ặ c g ọ i là nghi ệ m zero. Ngoài nghi ệ m b ằ ng 0 này, h ệ thu ầ n nh ấ t có th ể có nghi ệ m khác 0, v ấn đề này s ẽ đượ c bàn ở cu ối chương. Đặ t 11121n1121222n22m1m2mnnmmnn1m1 aaaxbaaaxbA; X; Baaaxb thì A đượ c g ọ i là ma tr ậ n h ệ s ố (c ủ a h ệ phương tr ình ), X đượ c g ọ i là ma tr ậ n ẩ n s ố, B đượ c g ọ i là ma tr ậ n h ệ s ố t ự do. L ấ y ma tr ậ n A nhân v ớ i ma tr ận X, ta đượ c: 11121n11111221nn21222n22112222nnm1m2mnnm11m22mnnm1 aaaxaxaxaxaaaxaxaxaxAXaaaxaxaxax : v ế trái c ủ a h ệ phương tr ình Do đó, hệ phương tr ình có th ể vi ế t ng ắ n g ọ n là AXB H ệ thu ầ n nh ất đượ c vi ế t ng ắ n g ọ n là AXO , trong đó m1 00O0 Chương 2: H ệ phương trình tuyế n tính Trang | 3 Ta nói hai h ệ phương tr ình là t ương đương nế u chúng có cùng t ậ p h ợ p nghi ệ m, ngh ĩa l à nghi ệ m c ủ a h ệ này c ũng l à nghi ệ m c ủ a h ệ kia và ngượ c l ạ
đây, ta xét một phương ph áp gi ả i h ệ phương tr ình tuy ế n tính t ổ ng quát. II. Phương pháp Gauss 2.1 H ệ phương tr ình tuy ế n tính b ậ c thang Xét h ệ phương tr ình: 123423434 x32xx3x1x2x2x413(xx)(2)0(6) Ma tr ậ n h ệ s ố c ủ a h ệ phương tr ình: 3213A02200116 là ma tr ậ n b ậ c thang. Ta g ọ i h ệ ph ương tr ình trên là h ệ phương tr ình b ậ c thang. T ổ ng quát, ta nói h ệ phương tr ình tuy ế n tính AXB (g ồm m phương tr ình, n ẩ
h ệ phương trình b ậ c thang n ế u ma tr ậ n h ệ s ố A là ma tr ậ n b ậ c thang. Khi gi ả i h ệ phương tr ình b ậ c thang, ta gi ải ngượ c t ừ phương tr ình cu ố i tr ở lên. Ví d ụ : Gi ả i h ệ phương tr ình trên T ừ phương tr ình (3) , ta tính 3 x theo 4 x: 34 x2x T ừ phương tr ình (2) , ta tính 2 x theo 34 x,x: 234444 x2x2x42.(2x)2x42x4 (thay 34 x2x ) T ừ phương tr ình (1) , ta tính 1 x theo 234 x,x,x: 12344444 x2xx3x12.(2x4)2x3x15x9 (thay 24 x2x4 và 34 x2x ) Ta th ấ y không có thông tin nào t ừ h ệ nói v ề giá tr ị c ủ a 4 x , điề u này có ngh ĩa l à 4 x có th ể nh ậ n giá tr ị tùy ý (ta g ọ i 4 x là ẩ n t ự do – free unknown). Đặ t 4 xt v ớ i t thì ta có bi ể u th ứ c nghi ệ m t ổ ng quát c ủ a h ệ là: |
