Hướng dẫn cách giải phương trình nguyên và bài tập
|
Trước giờ chúng ta thường giải phương trình nghiệm nguyên ằng những cách khác nhau như đưa về phương trình tích, đưa về tổng các bình phương,.. Nhưng theo mình thấy thì các phương pháp này vẫn còn mang không ít thì nhiều tính chất may rủi trong quá trình phân tích.Do đó hôm nay mình sẽ giới thiệu cho các bạn Phương phương pháp bổ trợ cũng nhu là cách hữu hiệu nhất để giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai,2 ẩn khi mọi cách giải khác đang đi vào ngõ cụt. Show Phương pháp này có 5 bước cơ bản như sau Chỉ nói thì khó hiểu vô cùng nên chúng ta cần một ví dụ cho dễ hiểu nhé Bài toán: giải phương trình nghiệm nguyên $x^{2}-xy+y^{2}=2x-3y-2$ (1) giải: Ta có $(1) \Leftrightarrow x^{2}-xy+y^{2}-2x+3y+2=0$ $\Leftrightarrow x^{2}-(y+2)x+y^{2}+3y+2=0 (2)$ Coi (2) như một phương trình bậc 2 ẩn x ta có $\Delta =(y+2){2}-4(y{2}+3y+2)=-3y^{2}-8y-4$ Để phương trình có nghiệm thì:$\Delta \geq 0\Leftrightarrow -3y^{2}-8y-4\geq 0\Leftrightarrow 3y^{2}+8y+4$ Giải bất phương trình này ta được nghiệm là $-2\leq y\leq \frac{-2}{3}$,trong đó có 2 nghiệm nguyên là y=-2 và y=-1 Thay y vào (1) ta được tạp nghiệm của phương trình là $(x,y)=(0;-1),(-1;1),(0;-2)$ Từ nghiệm của cách này ta sẽ có cách tách các hạng tử trong các cách khác
Đừng thở dài Hãy vươn vai mà sống Bùn dưới chân Nhưng nắng ở trên đầu Đã gửi 16-07-2019 - 12:23 nguyendinhnguyentoan9 Hạ sĩ
Đây là các bài tạp phương trình nghiệm nguyên mình thu thập được các bạn có thể sử dụng linh hoạt các cách để giải Bài 1,$a,x^{2}+2y^{2}+3xy+3x+5y=15$ $b,x^{2}+y^{2}-13(x-y)=0$ $c,7(x^{2}+xy+y^{2})=39(x+y)$ Đừng thở dài Hãy vươn vai mà sống Bùn dưới chân Nhưng nắng ở trên đầu Đã gửi 16-07-2019 - 22:03 Sin99 Thượng sĩ
Mình đóng góp lg theo cách của bạn B1 a) $ x^2 + 2y^2 + 3xy +3x+5y = 15 $ $ \Leftrightarrow x^2 + 3(y+1)x + 2y^2 + 5y - 15 = 0 $ $ \Rightarrow \Delta = y^2 - 2y + 69 $. Để phương trình có nghiệm nguyên thì $ \Delta $ phải là số chính phương. Đặt $ y^2 - 2y + 69 = k^2 \Rightarrow (k + y - 1)(k -y +1) = 68 $. Từ đó dễ tìm được $x,y \in Z $. Đã gửi 16-07-2019 - 22:10 Sin99 Thượng sĩ
Câu b) thì đánh giá $ x,y $ nhờ xét $ \Delta $ và giải bất phương trình, nhưng có cách nào thu hẹp $ y $ lại hơn không nhỉ Đã gửi 16-07-2019 - 22:17 Sin99 Thượng sĩ
Câu c) mình giải thế này. Ta có đánh giá $ x^2 + xy + y^2 = (x+y)^2 - xy \geq (x+y)^2 - \frac{(x+y)^2}{4} = \frac{3(x+y)^2}{4} $. $ Pt \Leftrightarrow \frac{39}{7} = \frac{x^2+xy+y^2}{x+y} \geq \frac{3(x+y)^2}{4(x+y)} = \frac{3}{4}(x+y) \Rightarrow \frac{52}{7} \geq x+ y $. Do $ x,y \in Z , x +y > 0 $ nên $ 7 \geq x+y \geq 1 $. Từ đó thế x theo y để giải phương trình bậc 2. Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 16-07-2019 - 22:17 Đã gửi 17-07-2019 - 12:28 nguyendinhnguyentoan9 Hạ sĩ
Vậy bạn có thể nhân 4 toàn bộ lên đưa về tổng các bình phương rồi lập bản giá trị thì có thể nhanh hơn Đừng thở dài Hãy vươn vai mà sống Bùn dưới chân Nhưng nắng ở trên đầu Đã gửi 17-07-2019 - 12:36 nguyendinhnguyentoan9 Hạ sĩ
Ta tiếp tục với loạt câu hỏi thứ 2 nào $a,5x^{2}+9y^{2}-12xy+28x-48y+68=0$ $b,x^{2}+2y^{2}-2xy+3x-3y+2=0$ $c,3(x^{2}+xy+y^{2})=x+8y$ Đừng thở dài Hãy vươn vai mà sống Bùn dưới chân Nhưng nắng ở trên đầu Đã gửi 17-07-2019 - 15:49 Gammaths11 Hạ sĩ
a,$5x^{2}+9y^{2}-12xy+28x-48y+68=0$ $\Leftrightarrow 5x^{2}+4x\left (7-3y \right )+(9y^{2}+48y+68)=0$ $\Delta {'}\doteq 4(7-3y){2}-5(9y^{2}-48y+68)=-(3y-12)^{2}\leq 0$ để pt có nghiệm $\Rightarrow \Delta ^{'}\doteq 0$ Đã gửi 17-07-2019 - 15:54 Gammaths11 Hạ sĩ
b,$x^{2}+x(3-2y)+(2y^{2}-3y+2)$ $\Rightarrow \Delta =(3-2y){2}-4(2y{2}-3y+2)= 1-4y^{2}$ để pt có nghiệm nguyên$\Delta$ phải là số chính phương$\Rightarrow 1-4y^{2}=k^{2}(k \epsilon\mathbb{N} )\Leftrightarrow 1=4y^{2}+k^{2}=0+1\Rightarrow y=0$
Đã gửi 17-07-2019 - 16:03 Gammaths11 Hạ sĩ
c,$3x^{2}+x(3y-1)+(3y^{2}-8)=0$ $\Rightarrow \Delta =(3y-1){3}-12(3y{2}-8y)=-25y^{2}-90y+1$ để pt có nghiệm thì $\Delta \geq 0\Rightarrow 25y^{2}-90y-1\leq 0\Leftrightarrow (5y-9)^{2}\leq 82$ Đã gửi 18-07-2019 - 12:23 nguyendinhnguyentoan9 Hạ sĩ
Bài 3 thẳng tiến $a,x^{4}-2y^{4}-x^{2}y^{2}-4x^{2}-7y^{2}-5=0$ $x^{2}-2y^{2}=5$ $c,x^{2}y-5x^{2}-xy+y-1=0$ Đừng thở dài Hãy vươn vai mà sống Bùn dưới chân Nhưng nắng ở trên đầu Đã gửi 18-07-2019 - 13:33 Khoipro999 Binh nhất
b ) x^2 - 2y^2 = 5 <=> x^2 = 2y^2 + 5 lẻ \=> x lẻ Đặt x = 2k + 1 ( k thuộc Z ) , ta có : 4k^2 + 4k + 1 = 2y^2 + 5 <=> 4k^2 + 4k - 4 - 2y^2 = 0 <=> 2k^2 + 2k - 2 - y^2 = 0 <=> 2(k^2+k-1) = y^2 Do VT chia hết cho 2 => VP = y^2 chia hết cho 2 Đặt y = 2m ( m thuộc Z ) , ta có : 2(k^2+k-1) = 4m^2 <=> k^2 + k - 1 = 2m^2 <=> k(k+1) = 2m^2 + 1 (1) Do k , k + 1 là 2 số nguyên liên tiếp \=> k(k+1) chia hết cho 2 (2) 2m^2 + 1 chia 2 dư 1 (3) Từ (1) ; (2) ; (3) => PT vô nghiệm nguyên Không có áp lực thì không có kim cương Đã gửi 18-07-2019 - 14:02 Khoipro999 Binh nhất
$a,x^{4}-2y^{4}-x^{2}y^{2}-4x^{2}-7y^{2}-5=0$ $x^{2}-2y^{2}=5$ $c,x^{2}y-5x^{2}-xy+y-1=0$x^2y - 5x^2 - xy + y - 1 = 0 <=> x^2(y-5) - xy + y - 1 = 0 $\Delta = y^2 - 4(y-5)(y-1) = -3y^2 + 24y - 20$ Để pt có nghiệm nguyên thì $\Delta \geq 0$ $\Rightarrow$3y^2 - 24y + 20 \leq 0$ $\Leftrightarrow 3(y-4)^2 - 28 \leq 0$ $\Leftrightarrow (y-4)^2 \leq \frac{28}{3}$ Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoipro999: 18-07-2019 - 16:14 Không có áp lực thì không có kim cương Đã gửi 18-07-2019 - 22:51 nguyendinhnguyentoan9 Hạ sĩ
Nếu bạn dùng được latex thì dùng luôn đi bạn 😊😊 Đừng thở dài Hãy vươn vai mà sống Bùn dưới chân Nhưng nắng ở trên đầu Đã gửi 19-07-2019 - 14:24 nguyendinhnguyentoan9 Hạ sĩ
Bài 4 $a,3^{y}=x^{2}-5x+7(x,y\epsilon N)$ $3^{y}=x^{2}+2x-7$ $c,x^{2}(x-y)=5(y-1)$ Đừng thở dài Hãy vươn vai mà sống Bùn dưới chân Nhưng nắng ở trên đầu Đã gửi 19-07-2019 - 14:33 nguyendinhnguyentoan9 Hạ sĩ
$a,x^{4}-2y^{4}-x^{2}y^{2}-4x^{2}-7y^{2}-5=0$ $x^{2}-2y^{2}=5$ $c,x^{2}y-5x^{2}-xy+y-1=0$Mình trả hướng dẫn bài a nhé Thật ra bài này chẳng có gì to tác cả chỉ là mũ hơi to thôi,nếu đã như vậy ta nên đặt hai ẩn phụ như sau: $a=x^{2},b=y^{2}(a,b \epsilon Z^{+})$ |
