Đề bài
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng \[{d_1}:x - y = 0\]và \[{d_2}:2x + y - 1 = 0\]. Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc \[{d_1}\], đỉnh C thuộc \[{d_2}\]và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tham số hóa tọa độ điểm \[A\], từ đó suy ra tọa độ điểm \[C\]theo \[A\].
- Thay tọa độ của \[C\]vào phương trình \[{d_2}\]tìm tham số và suy ra tọa độ các điểm \[A,C\].
- Sử dụng tính chất: \[I\] là tâm hình vuông nên \[\left\{ \begin{array}{l}IB = IA\\ID = IA\end{array} \right.\]để tìm tọa độ các điểm \[B,D\]và kết luận.
Lời giải chi tiết
Vì \[A \in {d_1} \Rightarrow A\left[ {t;t} \right].\]
Vì A và C đối xứng nhau qua BD và \[B,D \in Ox\]nên \[C\left[ {t; - t} \right]\].
Vì \[C \in {d_2}\]nên \[2t - t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1\]. Vậy A[1 ; 1], C[1 ; -1].
Trung điểm AC là \[ I[1 ; 0]\].
Vì I là tâm hình vuông nên \[\left\{ \begin{array}{l}IB = IA = 1\\ID = IA = 1\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}B \in Ox\\D \in Ox\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B[b;0]\\D[d;0]\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {b - 1} \right| = 1\\\left| {d - 1} \right| = 1\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0,b = 2\\d = 0,d = 2.\end{array} \right.\]
Suy ra B[0 ; 0] và D[2 ; 0] hoặc B[2 ; 0], D[0 ; 0].
Vậy bốn đỉnh của hình vuông là A[1 ; 1], B[0 ; 0], C[1 ; -1], D[2 ; 0]
hoặc A[1 ; 1], B[2 ; 0], C[1 ; -1], D[0 ; 0].