Đề bài
Cho tam giác ABC cân [AB = AC]. Gọi H là trung điểm của cạnh BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AC, M là trung điểm của đoạn HD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính tích vô hướng của hai véc tơ \[\overrightarrow {AM} \] và \[\overrightarrow {BD} \] rồi kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta cần chứng minh \[\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = 0\]
Ta có: \[2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD} \] vì M là trung điểm của đoạn HD.
\[\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HD} \]
Do đó: \[2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = [\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD} ].[\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HD} ]\]
\[ = \underbrace {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BH} }_{ = 0} + \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BH} + \underbrace {\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {HD} }_{ = 0}\]
\[ = \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BH} \]
\[\begin{array}{l}
= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \left[ {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HD} } \right].\overrightarrow {BH} \\
= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {BH} \\
= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {BH} \\
= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {BH} \\
= \overrightarrow {HD} \left[ {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {BH} } \right]\\
= \overrightarrow {HD} \left[ {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HC} } \right]\\
= \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {AC} \\
= 0
\end{array}\]
Vậy AM vuông góc với BD.