Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau trên tập xác định của nó
\[y = \sqrt {x - 1} + \sqrt {5 - x} \]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
GTLN: Khai triển biểu thức, đưa hàm về dạng nhỏ hơn một số a nào đó:\[y \le a\]
Thay giá trị a vào đề bài để xác định hàm lớn nhất khi nào
GTNN: Khai triển biểu thức, đưa hàm về dạng lớn hơn một số a nào đó: \[y \ge a\]
Thay giá trị a vào đề bài để xác định hàm nhỏ nhất khi nào
Lời giải chi tiết
Vế phải có nghĩa khi \[1 \le x \le 5\].
Ta có: \[{y^2} = {[\sqrt {x - 1} + \sqrt {5 - x} ]^2} = 4 + 2\sqrt {[x - 1][5 - x]} \]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} \ge 4,\forall x \in {\rm{[}}1;5]\\{y^2} \le 4 + [x - 1] + [5 - x] = 8\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge 2\\y \le 2\sqrt 2 \end{array} \right.\forall x \in {\rm{[}}1;5]\]
Hơn nữa: \[y = 2\] \[ \Leftrightarrow [x - 1][5 - x] = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.\]
\[y = 2\sqrt 2 \] \[ \Leftrightarrow x - 1 = 5 - x\] \[ \Leftrightarrow x = 3\]
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng \[2\sqrt 2 \]khi \[x = 3\], giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 2 khi \[x = 1\] hoặc \[x = 5\].