Bảng so sánh hoán vị chỉnh hợp tổ hợp
|
Ví dụ: Có 3 vận động viên $A,B,C$ chạy thi. Nếu không kể trường hợp có 2 vận động viên cùng về đích một lúc thì có bao nhiêu khả năng xảy ra? Giải: Do các vận động viên về đích được tính theo một thứ tự nhất định nên ta có $P_3=3!=6$ {khả năng}. 2. Chỉnh hợp: Cho tập hợp gồm $n$ phần tử, và số nguyên $k$ với $0 \le k \le n$. Chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là một nhóm gồm $k$ phần tử khác nhau được lấy từ $n$ phần tử và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó. Ký hiệu và công thức: $A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)...(n-k+1).$ Chú ý: $0!=1$, $A_n^0=1, A_n^n=P_n=n!$ Ví dụ: Một nhóm 5 bạn A, B, C, D, E. Hãy kể ra các cách phân công 3 bạn làm trực nhật, trong đó 1 bạn quét nhà, 1 bạn lau bảng và 1 bạn xếp bàn ghế. Giải: Theo công thức chỉnh hợp ta có số cách phân công là $A_5^3=\dfrac{5!}{(5-3)!}=60.$ 3. Tổ hợp: Cho $n$ phần từ. Tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm $k$ phần tử lấy từ $n$ phần tử đã cho. Ký hiệu và công thức: $C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}.$ Một vài tình chất: $C_n^k=C_n^{n-k}$, $C_n^0=C_n^n=1$, $C_n^1=C_n^{n-1}=n$, $C_{n+1}k=C_n^k+C_n{k-1}.$ Ví dụ: Trong một lớp có 40 sinh viên gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 em vào ban cán sự. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:
Giải: 1) Từ 40 sinh viên chọn tùy ý ra 4 sinh viên ta có số cách chọn là $C_{40}^4=91390.$
Phần cuối, mời các bạn xem trong bảng các chú ý khi dùng Tổ hợp, Chỉnh hợp và Hoán vị Luyện thi kiến thức Toán Phổ Thông - Đại học. Đồng thời có các chuyên đề , định hướng về hướng nghiệp - kỹ năng sống. Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp là những khái niệm cơ bản của Đại số Tổ hợp. Khi nói đến những khái niệm này hầu hết những em học viên còn “ bồn chồn ”. Mục đích của bài viết này là đưa ra những chú ý quan tâm để những em hoàn toàn có thể phân biệt được những khái niệm này. Phần kim chỉ nan này quan trọng, thiết yếu cho những em học viên lớp 11, ôn thi THPT Quốc gia và đặc biệt quan trọng hữu dụng cho những em sinh viên trước khi học “ Xác suất thống kê ” ở bậc Đại học, Cao đẳng. Đầu tiên tôi xin nhắc lại những khái niệm Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp . 1. Hoán vị: Cho tập hợp gồm n phần tử. Một hoán vị của n phần tử là sự sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một lần. Ký hiệu và công thức : Pn = n ! Ví dụ: Có 3 vận động viên A,B,C chạy thi. Nếu không kể trường hợp có 2 vận động viên cùng về đích một lúc thì có bao nhiêu khả năng xảy ra? Giải : Do những vận động viên về đích được tính theo một thứ tự nhất định nên ta có P3 = 3 ! = 6 { năng lực } . 2. Chỉnh hợp: Cho tập hợp gồm n phần tử, và số nguyên k với 0≤k≤n. Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một nhóm gồm k phần tử khác nhau được lấy từ n phần tử và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó. Ký hiệu và công thức: Ank=n!(n−k)!=n(n−1)…(n−k+1). Chú ý: 0!=1, An0=1,Ann=Pn=n! Ví dụ : Một nhóm 5 bạn A, B, C, D, E. Hãy kể ra những cách phân công 3 bạn làm trực nhật, trong đó 1 bạn quét nhà, 1 bạn lau bảng và 1 bạn xếp bàn và ghế .Giải : Theo công thức chỉnh hợp ta có số cách phân công là A53 = 5 ! ( 5 − 3 ) ! = 60 . 3. Tổ hợp: Cho n phần từ. Tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho. Cho tập hợp A, gồm n phần tử (n>=1). Một cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Công thức hoán vị: \[P_n = n! = 1.2.3...(n-1).n\] Kí hiệu hoán vị của n phần tử: \(P_n\). Ví dụ về hoán vị: Hỏi: Cho tập A = {3, 4, 5, ,6, 7}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt? Đáp: \(P_5 = 5! = 120\) số. Chỉnh hợpĐịnh nghĩa chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một bộ gồm k (1 <= k <= n) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập hợp A. Công thức chỉnh hợp: \[{A_n^k} = n.(n-1)...(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}\] Kí hiệu chỉnh hợp chập k của n phần tử: \({A_n^k}\). Ví dụ về chỉnh hợp: Hỏi: Có bao nhiêu cách xếp ba khách Minh, Thông, Thái vào hai chỗ ngồi cho trước? Đáp: \({A_3^2} = \frac{3!}{(3-2)!} = 3! = 6\) cách. Tổ hợpĐịnh nghĩa tổ hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một tập con của A, gồm k phần tử phân biệt (1 <= k <= n), được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A. Phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp:
Các công thức tổ hợp (k, n đều hợp lệ): \({C_n^k} = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n.(n-1)...(n-k+1)}{k!}\) \[{C_n^k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\] \[{C_n^k} = {C_n^{n-k}}\] \[{C_n^k} = {C_{n-1}k} + {C_{n-1}{k-1}}\] \[{C_n^k} = \frac{n{C_{n-1}^{k-1}}}{k}\] Quy ước: \({C_n^0} = 1\). Ví dụ tổ hợp: Hỏi: Ông X có 11 người bạn. Ông ta muốn mời 5 người trong số họ đi chơi xa. Trong 11 người đó có 2 người không muốn gặp mặt nhau. Hỏi ông X có bao nhiêu cách mời? |
