Bài tập ánh xạ tuyến tính liên tục năm 2024

Bài tập giải tích hàm – bài 66 trang 30 (Toán tử tuyến tính liên tục)

66. Xét C [0,1] là không gian các hàm liên tục với chuẩn sup. Chứng minh rằng ánh xạ

xác định như sau là tuyến tính liên tục và tính chuẩn của chúng

1.

2.

3.

Lời giải:

1. Dễ thấy A là tuyến tính và

Do đó A liên tục và . Chọn hàm thì

và .

Vậy

2. Từ

suy ra A liên tục và . Để chứng minh

ta chọn f(x)= 2x-1. Khi đó

Và

3. Dễ thấy A liên tục và . Mặt khác, với mỗi , chọn

Khi đó

và

Do đó