Bài tập giải phương trình vi phân toàn phần năm 2024

Vi bao là phương pháp hiệu quả giúp bảo quản các chất sinh học. Thông qua cơ chế bao gói của các polymer có nguồn gốc từ protein, polysaccharide, các hợp chất tự nhiên (polyphenol, carotenoid, …) cũng như vi sinh vật có lợi (nấm men, probiotic) giúp bảo vệ trong các điều kiện bất lợi của môi trường. Ứng dụng các hạt vi bao trong chế biến thực phẩm giúp sản phẩm kéo dài thời gian sử dụng, nâng cao khả năng kháng oxy hóa và cải thiện khả năng sống sót của probiotic.

Nấm vân chi (Trametes versicolor) là loại nấm dược liệu được trồng phổ biến ở châu Á, nhất là ở các nước Nhật Bản và Trung Quốc để sử dụng như thực phẩm hoặc dược phẩm. Mục tiêu của nghiên cứu này là chế biến ra sản phẩm trà túi lọc nấm vân chi vừa tốt cho sức khỏe vừa tiện lợi khi sử dụng. Nghiên cứu này khảo sát ảnh hưởng của nhiệt độ và thời gian sấy đến sự giảm ẩm của quả thể nấm vân chi. Nghiên cứu ảnh hưởng của công thức phối trộn, lượng nước pha và thời gian hãm trà đến chất lượng cảm quan của trà thành phẩm. Một số thành phần hóa học cơ bản của nấm nguyên liệu và trà thành phẩm đã được phân tích với hàm lượng tính theo khối lượng khô lần lượt gồm protein 11,60% và 13,34%, lipid chiếm 0,56% và 1,24%, đường khử khoảng 7,16% và 7,29%. Trong nguyên liệu, sản phẩm và nước pha trà có hàm lượng polysaccharide - peptide tương ứng khoảng 2,65%, 2,84% và 2%, hàm lượng polysaccharide – Krestin tương ứng là 2,01%, 2,13% và 0,41%.

Nghiên cứu sử dụng dịch trích vỏ quả lựu được thực hiện để đánh giá khả năng ức chế tinh thể Calcium oxalate, gồm 03 giai đoạn chính là hình thành, phát triển và ngưng tụ. Mẫu vỏ quả lựu được ly trích bằng phương pháp ngâm dầm với ethanol 80% để tạo cao chiết. Phần trăm ức chế hạt nhân tinh thể Calcium oxalate của cao chiết vỏ quả lựu được xác định bằng phương pháp đo quang phổ ở bước sóng 620 nm; trong khi đó, hiệu quả ức chế phát triển tinh thể Calcium oxalate của cao chiết được đánh giá bằng mật độ quang của mẫu thử ở bước sóng 214 nm trong thời gian 600 giây. Hiệu quả ức chế ngưng tụ tinh thể calcium oxalate của cao chiết được xác định bằng cách đo lường mật độ quang ở bước sóng 620 nm vào các khoảng thời gian 30, 60, 90, 180 và 360 phút. Kết quả nghiên cứu cho thấy, độ ẩm của mẫu đạt 71,89% và hiệu suất cao chiết đạt 4,59%. Cao chiết vỏ quả lựu có sự hiện diện của các hợp chất flavonoid, alkaloid, saponin, terpenoid, tanin và phenol. Cao chiết vỏ quả lựu có khả năng ức chế hình...

Bài tập toán cao cấp.Tập 3,Phép giải tích nhiều biến số. DSpace/Manakin Repository. ...

Ngày nay, với sự thay đổi trong quan niệm chăm sóc sức khoẻ, vai trò của thực phẩm chức năng (TPCN) ngày càng được đề cao và được coi là một trong những biện pháp thực hiện lối sống lành mạnh. Việc tìm hiểu về các kiến thức, thái độ, hành vi tiêu dùng là quan trọng nhằm phát triển các sản phẩm phù hợp với nhu cầu của người dân. Vì vậy, nghiên cứu được thực hiện với mục tiêu xây dựng thang đo kiến thức, thái độ và các yếu tố liên quan hành vi tiêu dùng TPCN tại các nhà thuốc nội thành ở Thành phố Hồ Chí Minh (Tp.HCM) nhằm đánh giá mức độ chấp nhận của người tiêu dùng. Đề tài sử dụng phương pháp định tính (tổng quan lý thuyết và mô hình hành vi tiêu dùng của Phillip Kotler để xây dựng thang đo ban đầu và phỏng vấn sâu để xây dựng thang đo sơ bộ) và định lượng (bao gồm kiểm định Cronbach’s Alpha và EFA) để hiệu chỉnh thang đo sơ bộ, từ đó đánh giá sơ bộ độ tin cậy và tính giá trị của thang đo nhằm hoàn thiện thang đo chính thức. Đề tài đã xây dựng thang đo kiến thức, thái độ và các yếu...

Để hiểu được sự phát triển của công tác thông tin đối ngoại ở Việt Nam, bài viết này đã khảo sát hoạt động thông tin đối ngoại của Hồ Chí Minh - người đã đặt nền móng cho hoạt động này. Ngay từ buổi đầu cách mạng, Hồ Chí Minh đã sớm quan tâm đến tuyên truyền thông tin đối ngoại, coi đó là một phần quan trọng của công tác ngoại giao và công tác tuyên truyền. Bằng nhiều hình thức khác nhau, Hồ Chí Minh đã cung cấp nhiều thông tin hai chiều về Việt Nam cho thế giới và thông tin thế giới tới người dân Việt Nam. Những thông tin này đã góp phần lớn vào nâng cao nhận thức cho người dân Việt Nam về các vấn đề quốc tế, tạo sự đồng thuận trong cuộc đấu tranh giải phóng dân tộc; tuyên truyền đường lối ngoại giao của Đảng, thể hiện rõ quan điểm chính trị của Việt Nam trong xây dựng mối quan hệ giữa các nước và giải quyết các vấn đề quốc tế thời kỳ sau Cách mạng tháng 8 năm 1945.

• 1. PHU . O . NG TR`INH VI PHˆAN 1) Gia' i phu . o . ng trnh: 2xy y” = y 2 − 1 HD gia’i: D- a. t y = p : 2xpp = p2 − 1 Vo . i x(p2 − 1) = 0 ta co : 2pdp p2 − 1 = dx x ⇔ p2 − 1 = C1 ⇔ p = ± √ C1x + 1 p = dy dx = √ C1 + 1 ⇒ y = 2 3C1 (C1x + 1) 3 2 + C2 2) Gia' i phu . o . ng trnh: √ y.y” = y HD gia’i: D- a. t y = p ⇒ y” = p dp dy (ham theo y). Phu . o . ng trnh tro .' thanh: √ yp dp dy = p Vo . i p = 0 ta du . o . . c phu . o . ng trnh: dp = dy √ y ⇒ p = 2 √ y + C1 ⇔ dy dx = 2 √ y + C1 ⇒ dx = dy 2 √ y + C1 Tu . do nghi^e. m t^o'ng qua t: x = √ y − C1 2 ln |2 √ y + C1| + C2 Ngoai ra y = c: hang cu~ ng la nghi^e. m. 3) Gia' i phu . o . ng trnh: a(xy + 2y) = xyy HD gia’i: a(xy + 2y) = xyy ⇒ x(a − y)y = −2ay N^eu y = 0, ta co phu . o . ng trnh tu . o . ng du . o . ng vo . i a − y y dy = − 2a x dx ⇔ x2a ya e−y = C Ngoai ra y = 0 cu~ ng la nghi^e. m. 4) Gia' i phu . o . ng trnh: y” = y ey HD gia’i: D- a. t y = p ⇒ y” = p dp dy thay vao phu . o . ng trnh: p dp dy = pey Vo . ip = 0 : dp dy = ey ⇔ p = ey + C1 ⇒ dy dx = ey + C1 ⇔ dy ey + C1 = dx Vo . i C1 = 0 ta co : dy ey + C1 = 1 C1 ey + C1 − ey ey + 1 dy = 1 C1 (y − ey dy ey + C1 ) = y C1 − 1 C1 ln(ey + C1) nhu . v^a. y: dx ey + C1 =    −e−y nˆe´u C1 = 0 1 C1 (y − ln |ey + C1|) nˆe´u C1 = 0. Ngoai ra y = C : hang la m^o. t nghi^e. m 5) Gia' i phu . o . ng trnh: xy = y(1 + ln y − ln x) vo . i y(1) = e www.VNMATH.com
• 2. u . a phu . o . ng trnh v^e : y = y x (1 + ln y x ), da. t y = zx du . o . . c: xz = z ln z • z ln z = 0 ⇒ dz z ln z = dx x ⇒ ln z = Cx hay ln y x = Cx ⇔ y = xeCx y(1) = e → C = 1. V^a. y y = xex 6) Gia' i phu . o . ng trnh: y”(1 + y) = y 2 + y HD gia’i: D- a. t y = z(y) ⇒ z = z dz dy thay vao phu . o . ng trnh: dz z + 1 = dy y + 1 ⇒ z + 1 = C1(y + 1) ⇒ z = C1y + C1 − 1 ⇔ dy C1y + C1 − 1 = dx (∗) • C1 = 0 ⇒ (∗) cho y = C − x • C1 = 0 ⇒ (∗) cho 1 C1 ln |C1y + C1 − 1| = x + C2 Ngoai ra y = C la nghi^e. m. To m la.i nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C, y = C − x; 1 C1 ln |C1y + C1 − 1| = x + C2 7) Gia' i phu . o . ng trnh: y = y2 − 2 x2 HD gia’i: Bi^en d^o'i (3) v^e da.ng: x2 y = (xy)2 − 2 (∗) D- a. t z = xy ⇒ z = y + xy thay vao (∗) suy ra: xz = z2 + z − 2 ⇔ dz z2 + z − 2 = dx x ⇔ 3 z − 1 z + x = Cx V^a. y TPTQ: xy − 1 xy + 2 = Cx3 . 8) Gia' i phu . o . ng trnh: yy” + y 2 = 1 HD gia’i: D- a. t y = z(y) ⇒ y” = z. dz dy Bi^en d^o'i phu . o . ng trnh v^e : z 1 − z2 dz = dy y ⇔ z2 = 1 + C1 y2 ⇒ dy dx = ± 1 + C1 y2 ⇔ ± dy 1 + C1 y2 = dx ⇒ y2 + C1 = (x + C2)2 Nghi^e. m t^o'ng qua t: y2 + C1 = (x + C2)2 9) Gia' i phu . o . ng trnh: 2x(1 + x)y − (3x + 4)y + 2x √ 1 + x = 0 HD gia’i: y − 3x + 4 2x(x + 1) .y = − 1 √ x + 1 ; x = 0, x = −1 Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: dy y = 3x + 4 2x(x + 1) dx = ( 2 x − 1 2(x + 1) )dx ⇔ y = Cx2 √ x + 1 www.VNMATH.com
• 3. s^o: C = − 1 x2 ⇒ C = − 1 x + ε. V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = x2 √ x + 1 ( 1 x + ε) 10) Gia' i phu . o . ng trnh: y” = e2y thoa' y(0) = 0 y (0) = 0 HD gia’i: D- a. t z = y → y” = z. dz dy phu . o . ng trnh tro .' thanh z. dz dy = e2y ⇔ z2 2 = e2y 2 + ε y (0) = y(0) = 0 ⇒ ε = − 1 2 . V^a. y z2 = e2y − 1. Tu . do : z = dy dx = √ e2y − 1 ⇒ dy √ e2y − 1 = x + ε. d¯ˆo’i biˆe´n t = √ e2y − 1 arctg √ e2y − 1 = x + ε y(0) = 0 ⇒ ε = 0. V^a. y nghi^e. m ri^eng thoa' di^e u ki^e. n d^e bai: y = 1 2 ln(tg2 x + 1). 11) Tm nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh: xy + 2y = xyy thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(−1) = 1. HD gia’i: Vi^et phu . o . ng trnh la.i: x(1 − y)y = −2y; do y(−1) = 1 n^en y ≡ 0. D- u . a v^e phu . o . ng trnh ta ch bi^en: 1 − y y dy = −2 dx x tch ph^an t^o'ng qua t: x2 ye−y = C. Thay di^e u ki^e. n vao ta du . o . . c C = 1 e . V^a. y tch ph^an ri^eng c^a n tm la: x2 ye1−y = 1. 12) Bang ca ch da. t y = ux, ha~ y gia' i phu . o . ng trnh: xdy − ydx − x2 − y2dx = 0. (x 0) HD gia’i: D- a. t y = ux; du = udx + xdu thay vao phu . o . ng trnh va gia' n u . o . c x: xdu −√ 1 − u2dx = 0. Ro~ rang u − ±1 la nghi^e. m. khi u ≡ ±1 du . a phu . o . ng trnh v^e ta ch bi^en: du 1 − u2 = dx x . TPTQ: arcsin u − ln x = C (do x 0). V^a. y NTQ cu' a phu . o . ng trnh: y = ±x; arcsin y x = ln x + C. 13) Tm nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh: xy = x2 − y2 + y thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(1) = 0. HD gia’i: xy = x2 − y2 + y ⇐⇒ y = 1 − y2 x2 + y x da. t u = y x hay y = ux suy ra y = xu + u phu . o . ng trnh thanh: xu = √ 1 − u2 ⇐⇒ du √ 1 − u2 = dx x www.VNMATH.com
• 4. = ln Cx thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(1) = 0 khi C = 1. V^a. y nghi^e. m y = ±x. 14) Tm nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh: y sin x = y ln y thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y( π 2 ) = e. HD gia’i: y sin x = y ln y ⇐⇒ dy y ln y = dx sin x ⇐⇒ ln y = C tan x 2 ⇐⇒ y = e C tan x 2 thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y( π 2 ) = e khi C = 1. V^a. y y = e tan x 2 . 15) Tm nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh: (x + y + 1)dx + (2x + 2y − 1)dy = 0 thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(0) = 1. HD gia’i: D- a. t x + y = z =⇒ dy = dz − dx phu . o . ng trnh thanh: (2 − z)dx + (2z − 1)dz = 0; gia' i ra x − 2z − 3 ln |z − 2| = C. V^a. y x + 2y + 3 ln |x + y − 2| = C thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(0) = 1 khi C = 2. 16) Bang ca ch da. t y = 1 z r^o i da. t z = ux,ha~ y gia' i phu . o . ng trnh: (x2 y2 − 1)dy + 2xy3 dx = 0 HD gia’i: D- a. t y = 1 z du . o . . c: (z2 − x2 )dz + 2zxdx = 0; r^o i da. t z = ux, du . o . . c (u2 − 1)(udx + xdu) + 2udx = 0 ⇐⇒ dx x + u2 − 1 u3 + u du = 0 ⇐⇒ ln |x| + ln u2 + 1 |u| = ln C ⇐⇒ x(u2 + 1) u = C thay u = 1 xy du . o . . c nghi^e. m 1 + x2 y2 = Cy. 17) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh sau: y − xy = x + x3 HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 1 va co nghi^e. m t^o'ng qua t la y = Ce x2 2 . x2 2 + 1 . www.VNMATH.com
• 5. m t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y − y = y2 . HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh ta ch bi^en va co nghi^e. m t^o'ng qua t la ln | y y + 1 | = x + C. 19) Tm nghi^e. m cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y + y x = ex HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 1 va co nghi^e. m t^o'ng qua t la y = C x + ex − ex x . 20) Tm nghi^e. m cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y − y = y3 . HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh ta ch bi^en va co nghi^e. m t^o'ng qua t la C + x = ln |y| − arctgy. 21) Gia' i phu . o . ng trnh: y = y x + sin y x , vo . i y(1) = π 2 HD gia’i: y = zx ⇒ y = z x + z, phu . o . ng trnh tro .' thanh: z x = sin x ⇔ dz sin z = dx x ⇔ ln |tg z 2 | = ln |x| + ln C ⇔ tg z 2 = Cx V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: tg y 2x = Cx; y(1) = π 2 ⇒ C = 1. V^a. y: tg y 2x = x. 22) Gia' i phu . o . ng trnh: (x − y cos y x )dx + x cos y x dy = 0 HD gia’i: D- a. t y x = z ⇒ y = z x + z phu . o . ng trnh du . o . . c du . a v^e da.ng: x cos z.z + 1 = 0 ⇔ cos zdz = − dx x + C ⇔ sin z = − ln |x| + C V^a. y TPTQ: sin y x = − ln |x| + C 23) Gia' i phu . o . ng trnh: (y 2 − 1)x2 y2 + y (x4 − y4 ) = 0 HD gia’i: La phu . o . ng trnh da' ng c^ap nhu . ng gia' i kha phu . c ta.p. www.VNMATH.com
• 6. b^a. c hai d^oi vo . i y : = (x4 + y4 )2 ⇒ y1 = y2 x2 ; y2 = − x2 y2 . Tu . do co hai ho. nghi^e. m t^o'ng qua t: y = x C1x + 1 ; x3 + y3 = C2 24) Gia' i phu . o . ng trnh: y2 + x2 y = xyy HD gia’i: Vi^et phu . o . ng trnh la.i y = y2 x2 y x − 1 d^ay la phu . o . ng trnh thu^a n nh^at, gia' i ra du . o . . c nghi^e. m t^o'ng qua t: y2 = Cxe y x 25) Tm nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh: (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0 thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(1) = 0. HD gia’i: D- a. t x = u − 1 y = v + 3. thay vao phu . o . ng trnh du . o . . c: (u + v)du + (u − v)dv = 0, d^ay la phu . o . ng trnh thu^a n nh^at co tch ph^an t^o'ng qua t la: u2 + 2uv − v2 = C. V^a. y tch ph^an t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh ban d^a u la: x2 + 2xy − y2 − 4x + 8y = C 26) Gia' i phu . o . ng trnh (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0. HD gia’i: D- a. t x = X − 1 y = Y + 3 , phu . o . ng trnh thanh: (X + Y )dX + (X − Y )dY = 0 da. t Y = uX du . a phu . o . ng trnh v^e dX X + 1 − u 1 + 2u − u2 du = 0. Gia' i ra X2 (1 + 2u − u2 ) = C hay x2 + 2xy − y2 − 4x + 8y = C. 27) Tm tch ph^an t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh sau: b) y = 2xy x2 − y2 . HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh da' ng c^ap, ta da. t z = y z . Khi do phu . o . ng trnh tr^en tro .' thanh xz = z(1 + z2 ) 1 − z2 . Hay ( 1 z − 2z 1 + z2 )dz = dx x . Suy ra nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh nay la z 1 + z2 = Cx, C = 0. V^a. y nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da~ cho la x2 + y2 = C1y, C1 = 0. 28) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y = 2x + y − 1 4x + 2y + 5 . HD gia’i: D- a. t u = 2x + y phu . o . ng trnh du . a v^e da.ng du dx = 5u + 9 2u + 5 . www.VNMATH.com
• 7. trnh nay ta du . o . . c nghi^e. m 10u + 7 ln |5u + 9| = 25x + C. V^a. y nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da~ cho la 10y + 7 ln |10x + 5y = 9| − 5x = C. 29) Tm tch ph^an t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: (x − y + 4)dy + (y + x − 2)dx = 0 HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh du . a v^e da.ng da' ng c^ap du . o . . c bang ca ch da. t x = u + 1, y = v − 3, ta du . o . . c dv du = u + v −u + v . Gia' i phu . o . ng trnh ta co nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh la v2 − 2uv − v2 = C. V^a. y nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da~ cho la y2 − x2 − 2xy − 8y + 4x = C1. 30) a) Tm mi^e n ma trong do nghi^e. m cu' a bai toa n Cauchy cu' a phu . o . ng trnh sau d^ay t^o n ta. i va duy nh^at y = √ x − y. b) Tm tch ph^an t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: (x2 − y2 )dy − 2xydx = 0. HD gia’i: a) Bai toa n Cauchy co duy nh^at nghi^e. m trong mi^e n D = {(x, y) ∈ R2 |x − y ≥ δ} vo . i δ 0 tuy y . b) D- u . a phu . o . ng trnh v^e da.ng dy dx = xy x2 − y2 . D- ^ay la phu . o . ng trnh da' ng c^ap, ta da. t z = y x . Khi do phu . o . ng trnh tr^en tro .' thanh xz = z(1 + z2 ) 1 − z2 . Hay ( 1 z − 2z 1 + z2 )dz = dx x . Suy ra nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh nay la z 1 + z2 = Cx, C = 0. V^a. y nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da~ cho la x2 + y2 = C1y, C1 = 0. 31) a) Chu . ng minh rang h^e. ca c vecto . {e2x , xe2x , x2 } la h^e. d^o. c l^a. p tuy^en tnh. b) Tm tch ph^an t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh sau: (x − y)dy − (x + y)dx = 0; HD gia’i: a) Dung di.nh ngh~a ki^e'm tra h^e. d^o. c l^a. p tuy^en tnh . b) D- u . a phu . o . ng trnh v^e da.ng y = x + y x − y . D- ^ay la phu . o . ng trnh da' ng c^ap, ta da. t z = y x . Khi do phu . o . ng trnh tr^en tro .' thanh xz = 1 + z2 1 − z . Gia' i phu . o . ng trnh nay ta du . o . . c x2 + y2 = Cearctg y x . 32) a) Chu . ng minh rang h^e. ca c vecto . {cos2 2x, sin2 2x, 2} la h^e. phu. thu^o. c tuy^en tnh. Tnh di.nh thu . c Wronski cu' a chu ng. b) Tm tch ph^an t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh sau: (x − 2y + 1)dy − (x + y)dx = 0. www.VNMATH.com
• 8. nay phu. thu^o. c tuy^en tnh v 2 cos2 2x + 2 sin2 2x − 2 = 0. b) Phu . o . ng trnh nay co th^e' du . a v^e da.ng da' ng c^ap, ta du . o . . c y = x + y x − 2y + 1 . D- a. t u = x − 1 3 , v = y + 1 3 , khi do phu . o . ng trnh tr^en tro .' thanh v = u + v u − 2v . Gia' i phu . o . ng trnh nay ta du . o . . c √ u2 + 2v2 = Ce 1√ 2 arctg( √ 2 u v ) . Hay (3x − 1)2 + 2(3y + 1)2 = C1e 1√ 2 arctg( √ 2 3x−1 3y+1 ) . 33) Gia' i phu . o . ng trnh: y2 + x2 y = xyy HD gia’i: Phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: da. t y = zx → y = z x + z Phu . o . ng trnh tro .' thanh z − 1 z dz = dx x → z − ln |z| = ln |x| + C y x − ln | y x | = ln |x| + C 34) Gia' i phu . o . ng trnh y2 + x2 y = xyy . HD gia’i: Vi^et phu . o . ng trnh la.i y = y2 x2 y x − 1 d^ay la phu . o . ng trnh thu^a n nh^at, gia' i ra du . o . . c nghi^e. m t^o'ng qua t: y2 = Cxe y x 35) Gia' i phu . o . ng trnh: y” cos y + (y )2 sin y = y HD gia’i: y = C : hang la m^o. t nghi^e. m. y = C (hang). D- a. t y = p ⇒ y” = p dp dy (ham theo y) thay vao (2): dp dy cos y + p sin y = 1: phu . o . ng trnh tuy^en tnh. Phu . o . ng trnh thu^a n nh^at co nghi^e. m t^o'ng qua t: p = C cos y. bi^en thi^en hang s^o du . o . . c C = tgy + C1. tu . do p = dy dx = sin y + C1 cos y ⇔ dy sin y + C1 cos y = dx tch ph^an di d^en: 1 C2 1 + 1 ln tg y 2 + 1 + 1 C2 1 − 1 C1 −tg y 2 + 1 + 1 C2 1 + 1 C1 = x + C2 36) Gia' i phu . o . ng trnh: y + 1 2x − y2 = 0 HD gia’i: Coi x = x(y) la ham cu' a y ta co : y = 1 x thay vao phu . o . ng trnh: www.VNMATH.com
• 9. 0 ⇔ x + 2x = y2 : phu . o . ng trnh tuy^en tnh. Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: x = Ce−2y Bi^en thi^en hang s^o: C (y) = y2 e2y ⇒ C(y) = 1 2 y2 e2y − 1 2 ye2y + 1 4 e2y + C V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh: x = Ce−2y + 1 2 y2 − 1 2 y + 1 4 37) Gia' i phu . o . ng trnh: xy” = y + x2 HD gia’i: D- a. t y = p, (1) tro .' thanh: xp − p = x2 tuy^en tnh Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: p = Cx Bi^en thi^en hang s^o → C(x) = x + C1 Suy ra: dy dx = x(x + C1) → y = x3 3 + C1. x2 2 + C2 38) Gia' i phu . o . ng trnh: y 2 + yy” = yy HD gia’i: D- a. t p = y (p = 0), phu . o . ng trnh tu . o . ng du . o . ng vo . i: p2 + yp dp dy = yp ⇔ p + y dp dy = y, xe t y = 0 du . a phu . o . ng trnh v^e : dp dy + p y = 1 (tuy^en tnh) NTQ cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: p = C y , bi^en thi^en hang s^o ⇒ C(y) = y2 2 + C1 Nhu . v^a. y: p = y2 + 2C1 2y ⇒ dy dx = y2 + 2C1 2y ⇒ 2ydy y2 + 2C1 = dx ⇒ y2 = A1ex + A2. Chu y : V^e tra i (yy ) = yy ⇔ yy = C1ex ⇔ ydy = C1ex dx ⇔ y2 = 2C1ex + C2 39) Gia' i phu . o . ng trnh: yey = y (y3 + 2xey ) vo . i y(0) = −1 HD gia’i: yx = 1 x y bi^en d^o'i phu . o . ng trnh v^e : x − 2 y x = y2 e−y Nghi^e. m t^o'ng qua t: x = y2 (C − e−y ) y(0) = −1 ⇒ C = e. V^a. y x = y2 (e − e−y ) 40) Gia' i phu . o . ng trnh: xy” = y + x HD gia’i: D- a. t y = p; phu . o . ng trnh tro .' thanh: p − 1 x p = 1 Nghi^e. m t^o'ng qua t: p = Cx bi^en thi^en hang s^o: C = ln |x| + C1 www.VNMATH.com
• 10. (ln |x| + C1)x ⇒ y = (ln |x| + C1)xdx + C2 = C1x2 + x2 2 ln |x| − x2 4 + C2 41) Gia' i phu . o . ng trnh: y + xy = x3 HD gia’i: Nghi^e. n t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at y = Ce− x2 2 bi^en thi^en hang s^o: C(x) = (x2 − 2)e− x2 2 + ε V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = εe− x2 2 + x2 − 2. 42) Gia' i phu . o . ng trnh: (x2 − y)dx + xdy = 0 HD gia’i: Phu . o . ng trnh vi^et la.i: xy −y = −x2 , phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: xy −y = 0 co nghi^e. m t^o'ng qua t: y = Cx bi^en thi^en hang s^o suy ra C = −x + ε V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t : y = −x2 + εx 43) Gia' i phu . o . ng trnh: y − 2 x y = 3 x2 vo . i y(1) = 1 HD gia’i: Phu . o . ng trnh tuy^en tnh: y = Cx2 ; C = 3 x4 ⇒ C = − 1 x3 + ε y = εx2 − 1 x ; y(1) = 1 ⇒ ε = 2 V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = 2x2 − 1 x 44) Gia' i phu . o . ng trnh: (x + 1)(y + y2 ) = −y HD gia’i: Xe t y = 0, bi^en d^o'i phu . o . ng trnh v^e da.ng y + 1 x + 1 .y = −y2 D- a. t 1 y = z ⇒ y = − z z2 = −y2 z du . a phu . o . ng trnh v^e z − 1 x + 1 .z = 1. Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: z = C1(x + 1) bi^en thi^en hang s^o C1 = ln |x + 1| + ε. V^a. y nghi^e. m: z = (x + 1)(ln |x + 1| + ε) ngoai ra y = 0 cu~ ng la nghi^e. m. V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = 1 (x + 1)(ln |x + 1| + ε) va y = 0 nghi^e. m k di.. 45) Gia' i phu . o . ng trnh: 2xy + y = 1 1 − x HD gia’i: D- u . a phu . o . ng trnh v^e da.ng y + 1 2x y = 1 2x(1 − x) phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 1 www.VNMATH.com
• 11. qua t: y = C √ x , bi^en thi^en hang s^o: C (x) = √ x 2x(1 − x) ⇒ C = 1 2 ln | √ x + 1 √ x − 1 | + ε V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = 1 √ x 1 2 ln | √ x + 1 √ x − 1 | + ε 46) Gia' i phu . o . ng trnh: xy − y = x2 sin x HD gia’i: y − y x = x sin x, phu . o . ng trnh tuy^en tnh. NTQ: y = Cx bi^en thi^en hang s^o: Nghi^e. m t^o'ng qua t: y = (C − cos x)x 47) Gia' i phu . o . ng trnh: y cos2 x + y = tgx thoa' y(0) = 0 HD gia’i: Phu . o . ng trnh tuy^en tnh → NTQ y = Ce−tgx ; y = tgx − 1 (m^o. t nghi^e. m ri^eng) ⇒ NTQ: y = Ce−tgx + tgx − 1 y(0) = 0 ⇒ C = 1. V^a. y nghi^e. m ri^eng c^a n tm: y = tgx − 1 + e−tgx . 48) Gia' i phu . o . ng trnh: y √ 1 − x2 + y = arcsin x thoa' y(0) = 0 HD gia’i: Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh tuy^en tnh thu^a n nh^at: y = Ce−arcsinx D^e~ th^ay nghi^e. m ri^eng: y = arcsinx − 1 ⇒ NTQ: y = Ce−arcsinx + arcsinx − 1 y(0) = 0 ⇒ C = 1 ⇒ nghi^e. m ri^eng c^a n tm: y = e−arcsinx + arcsinx − 1 49) Tm nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh: y = 1 2x − y2 thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(1) = 0. HD gia’i: Xem x la ^a'n ham, thay y = 1 x , phu . o . ng trnh thanh 1 x = 1 2x − y2 ⇐⇒ x − 2x = −y2 D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap m^o. t, nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh tuy^en tnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng la x = Ce−2y . Bi^en thi^en hang s^o du . o . . c NTQ: x = Ce−2y + y2 2 − y 2 + 1 4 thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(1) = 0 khi C = 3 4 . V^a. y nghi^e. m tho' a ma~ n di^e u ki^e. n d^a u: x = 3 4 e−2y + y2 2 − y 2 + 1 4 . www.VNMATH.com
• 12. phu . o . ng trnh sau d^ay, bi^et rang sau khi da. t y = z x2 , ta nh^a. n du . o . . c m^o. t phu . o . ng trnh vi ph^an c^ap hai co m^o. t nghi^e. m ri^eng y∗ = 1 2 ex : x2 y + 4xy + (x2 + 2)y = ex . HD gia’i: D- a. t y = zx2 =⇒ y = z x − 2z x3 ; y = z x2 − 4z x + 6z x4 . Phu . o . ng trnh thanh : z + z = ex , co m^o. t nghi^e. m ri^eng la y∗ = ex 2 , NTQ cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: z = C1 cos x + C2 sin x. V^a. y NTQ cu' a phu . o . ng trnh ban d^a u la: y = C1 cos x x2 + C2 sin x x2 + ex 2x2 51) Tm nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh: yey = y (y3 + 2xey ) thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(0) = −1. HD gia’i: Xem x la ^a'n ham, thay y = 1 x , phu . o . ng trnh thanh x − 2 y x = y2 e−y . NTQ cu' a phu . o . ng trnh tuy^en tnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng la x = C y ; bi^en thi^en hang s^o du . o . . c C(y) = −e−y + C. Nhu . v^a. y NTQ la x = C y − 1 yey . Thay di^e u ki^e. n d^a u xa c di.nh du . o . . c C = 1 e . Tu . do KL. 52) Tm nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh y − y = cos x − sin x. tho' a di^e u ki^e. n y bi. cha. n khi x → ∞ HD gia’i: Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh ra y = Cex + sin x tho' a di^e u ki^e. n y bi. cha. n khi x → ∞ khi C = 0 53) Tm nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh: y + sin y + x cos y + x = 0 thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(0) = π 2 . HD gia’i: y + sin y + x cos y + x = 0 ⇐⇒ y + 2 sin y 2 cos y 2 + x.2 cos2 y 2 = 0 ⇐⇒ y 2 cos2 y 2 + tan y 2 + x = 0 da. t z = tan y 2 =⇒ z = y 2 cos2 y 2 , phu . o . ng trnh thanh phu . o . ng trnh tuy^en tnh z + z = −x. Gia' i ra: z = 1 − x + Ce−x thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(0) = π 2 khi C = 0. V^a. y nghi^e. m ri^eng y = 2 arctan(1 − x). www.VNMATH.com
• 13. m t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y − x tan y = x cos y HD gia’i: D- a. t z = sin y, khi do phu . o . ng trnh da~ cho tro .' thanh z − xz = x. D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 1 va co nghi^e. m t^o'ng qua t la z = Ce x2 2 − 1. V^a. y nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da~ cho la sin y = z = Ce x2 2 − 1 55) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y − xy = x HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 1 va co nghi^e. m t^o'ng qua t la y = Ce 1 2 x2 − 1. 56) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y + y x = x √ y. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh Bernoulli va co nghi^e. m t^o'ng qua t la √ y = C √ x + 1 5 x2 . 57) Tm nghi^e. m cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y − y x = x3 HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 1 va co nghi^e. m t^o'ng qua t la y = Cx + 1 3 x4 . 58) Tm nghi^e. m cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y − y = y2 . HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh Bernoulli va co nghi^e. m t^o'ng qua t la y2 = 1 Ce−2x − 1 . 59) Tm nghi^e. m cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y + y x = sin x HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 1 va co nghi^e. m t^o'ng qua t la y = C x + sin x x − cos x. www.VNMATH.com
• 14. m cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y − y = x √ y. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh Bernoulli va co nghi^e. m t^o'ng qua t la √ y = Ce 1 2 x − x − 2. 61) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y + 2xy = xe−x2 HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh vi ph^an tuy^en tnh c^ap 1. Nghi^e. m t^o'ng qua t la y = (C + x2 2 )e−x2 . 62) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y − 4 y x = x √ y. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh Bernoulli va co nghi^e. m la √ y = 1 2 ln x + Cx2 . 63) a) Tm mi^e n ma trong do nghi^e. m cu' a bai toa n Cauchy cu' a phu . o . ng trnh sau d^ay t^o n ta. i va duy nh^at y = y + 3x. b) Tm nghi^e. m cu' a bai toa n Cauchy sau d^ay    y” − 1 x y = x y(x = 1) = 1 va` y (x = 1) = 2. HD gia’i: a) D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 1 tho' a di.nh ly di^e u ki^e. n t^o n ta.i duy nh^at nghi^e. m tr^en R2 . b) Gia' i phu . o . ng trnh y” − y x = x, ta du . o . . c nghi^e. m t^o'ng qua t y = C1 + C2x + x2 2 . V^a. y nghi^e. m cu' a bai toa n Cauchy la y = − 1 2 + x + x2 2 . 64) Tm nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh sau: y + ytgx = cos x HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh vi ph^an tuy^en tnh c^ap 1. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = (C + x) cos x. www.VNMATH.com
• 15. m cu' a phu . o . ng trnh sau: y + y x = x( ex ex + 1 )y2 . HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh vi ph^an Bernoulli va co nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh la y = 1 Cx − x ln(ex + 1) . 66) Gia' i phu . o . ng trnh: (x + 1)y” + x(y )2 = y HD gia’i: D- a. t y = p, phu . o . ng trnh tro .' thanh phu . o . ng trnh Bernouili (vo . i x = −1) p − 1 x + 1 p = − x x + 1 p2 (∗) D- a. t z = p−1 = 0, du . a (∗) v^e phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap m^o. t: z + 1 1 + x z = x x + 1 Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: z = C x + 1 Bi^en thi^en hang s^o cu^oi cung du . o . . c: z = x2 + C1 2(x + 1) ⇒ y = 1 z = 2(x + 1) x2 + C1 Suy ra nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh:    ln |x2 + C1| + 2 √ C1 arctg x √ C1 + C2 nˆe´u C1 0 ln |x2 + C1| + 1 √ −C1 ln | x − √ −C1 x + √ −C1 | + C2 nˆe´u C1 0 Chu y y = C la NKD 67) Gia' i phu . o . ng trnh: x2 y = y(x + y) HD gia’i: x2 y = y(x + y) ⇔ y − 1 y = 1 x2 y2 : phu . o . ng trnh Bernouilli D- a. t z = y−1 (y = 0) : −z − 1 x z = 1 x2 . NTQ cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: z = Cx bi^en thi^en hang s^o C: C(x) = ε − 1 2x2 . V^a. y z = x(ε − 1 2x2 ) V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = 2x εx2 − 1 68) Gia' i phu . o . ng trnh: yy” − (y )2 = y3 thoa'    y(0) = − 1 2 y (0) = 0 www.VNMATH.com
• 16. a. t y = p(y); y = p.py thay vao phu . o . ng trnh py dp dy − p2 = y3 , da. t ti^ep: p(y) = y.z(y) du . a phu . o . ng trnh v^e dz dy = 1 z ⇒ z2 = 2(y + C1) ⇔ dy dx = y |2y + C| Do di^e u ki^e. n y(0) = − 1 2 ; y (0) = 0 ⇒ C = 1. Tu . do suy ra: dy dx = y |2y + 1| ⇒ ln |2y + 1| − 1 |2y + 1| + 1 = x + C2. do y(0) = − 1 2 ⇒ C2 = 0. V^a. y nghi^e. m ri^eng c^a n tm thoa' : ln |2y + 1| − 1 |2y + 1| + 1 = x. 69) Gia' i phu . o . ng trnh: ydx + 2xdy = 2y √ x cos2 y dy thoa' di^e u ki^e. n y(0) = π HD gia’i: D- u . a phu . o . ng trnh v^e da.ng x + 2 y x = 2 cos2 y .x 1 2 (Bernoulli) (∗) D- a. t z = x 1 2 ta co z = x + 1 2 x− 1 2 x thay vao (∗) z + 1 y z = 1 cos2 y Nghi^e. m t^o'ng qua t: z = c y bi^en thi^en hang s^o: C = y cos2 y ⇒ C(y) = ytgy + ln | cos y| + ε V^a. y Z = tgy + 1 y ln | cos y| + ε y Va TPTQ cu' a phu . o . ng trnh: tgy + 1 y ln | cos y| + ε y = √ x y(0) = π ⇒ ε = 0 v^a. y TPR : tgy + 1 y ln | cos y| = √ x 70) Gia' i phu . o . ng trnh: xydy = (y2 + x)dx HD gia’i: Do y = 0 kh^ong pha' i la nghi^e. m, chia hai v^e cho xy bi^en d^o'i phu . o . ng trnh v^e da.ng: y − 1 x y = y−1 Bernouilli; D- a. t z = y2 du . a phu . o . ng trnh v^e da.ng: z − 2 x z = 2 → z = −2x + Cx2 V^a. y TPTQ: y2 = −2x + Cx2 71) Gia' i phu . o . ng trnh: (y + √ xy)dx = xdy www.VNMATH.com
• 17. u . a phu . o . ng trnh v^e da.ng y − 1 x y = 1 √ x .y 1 2 ; x = 0 D- a. t z = y 1 2 : z − 1 2x z = 1 √ x phu . o . ng trnh tuy^en tnh gia' i ra z = √ x(ln x + C) V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = x(ln x + C)2 72) Gia' i phu . o . ng trnh: xy − 2x2√ y = 4y HD gia’i: Phu . o . ng trnh Bernouilli, da. t z = y1−α = √ y ⇒ z = 1 2 √ y phu . o . ng trnh tro .' thanh: z − 4 x z = 2x → NTQ z = Cx4 − x2 V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = (Cx2 − 1)2 x4 . 73) Gia' i phu . o . ng trnh: 2x2 y = y2 (2xy − y) HD gia’i: Xem x la ham theo bi^en y : x y3 − 2xy2 = −2x2 Bernouilli D- a. t z = 1 x , phu . o . ng trnh tro .' thanh: z + 2z y = 2 y3 → TPTQ: y2 = x ln Cy2 , nghi^e. m ky di. y = 0. 74) Tm nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh: x2 y = y(x + y) thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(−2) = −4. HD gia’i: Do y(−2) = −4 n^en y ≡ 0. D- u . a phu . o . ng trnh v^e phu . o . ng trnh Bernouilli: y − 1y = y2 x2 . Ti^ep tu.c da. t z = y−1 du . a phu . o . ng trnh v^e PT tuy^en tnh z + 1 x z = − 1 x2 . NTQ cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng: z = Cx, bi^en thi^en hang s^o du . o . . c C(x) = Cx− 1 2x . Nhu . v^a. y nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh ban d^a u la: y = 2x Cx2 − 1 . D- i^e u ki^e. n d^a u cho C = 1 2 . V^a. y nghi^e. m ri^eng c^a n tm la y = 4x x2 − 1 75) Gia' i phu . o . ng trnh: y − xy = −xy3 HD gia’i: Phu . o . ng trnh: y − xy = −xy3 la phu . o . ng trnh Bernouilli, gia' i ra du . o . . c y2 (1 + Ce−x ) = 1 76) Gia' i phu . o . ng trnh: xy + y = y2 ln x. HD gia’i: Phu . o . ng trnh xy + y = y2 ln x la phu . o . ng trnh Bernouilli, gia' i ra du . o . . c y = 1 1 + Cx + ln x . 77) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y − 4 y x = x √ y www.VNMATH.com
• 18. ^ay la phu . o . ng trnh Bernoulli, bang ca ch da. t z = √ y ta du . a phu . o . ng trnh v^e da.ng z − 2 x z = x 2 va co nghi^e. m t^o'ng qua t la z = x2 ( 1 2 ln |x| + C). V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh la y = x4 ( 1 2 ln |x| + C)2 . 78) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y + y x = y2 xtgx. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh Bernoulli va co nghi^e. m t^o'ng qua t la y = 1 Cx + x ln | cos x| . 79) Gia' i phu . o . ng trnh: y2 dx + (2xy + 3)dy = 0 HD gia’i: P(x, y) = y2 , Q(x, y) = 2xy + 3; ∂P ∂y = ∂Q ∂x = 2y (1) ⇔ d(xy2 + 3y) = 0. V^a. y xy2 + 3y = C 80) Gia' i phu . o . ng trnh: ex (2 + 2x − y2 )dx − yex dy = 0 HD gia’i: ∂P ∂y = ∂Q ∂x = −2yex suy ra phu . o . ng trnh tu . o . ng du . o . ng vo . i: d ex (2x−y2 ) = 0. V^a. y ex (2x − y2 ) = C. 81) Gia' i phu . o . ng trnh: (y2 + 1) 3 2 dx + (y2 + 3xy 1 + y2)dy = 0 HD gia’i: p = (y2 + 1) 3 2 ; Q = y2 + 3xy 1 + y2 ⇒ ∂P ∂y = ∂Q ∂x = 3y 1 + y2 (∗) Suy ra nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a (∗) la: x 0 P(x, 0)dx + y 0 Q(x, y)dy = C ⇔ y3 3 + x(1 + y2 ) 3 2 = C 82) Gia' i phu . o . ng trnh: (y cos2 x − sin x)dy = y cos x(y sin x + 1)dx HD gia’i: ∂P ∂y = ∂Q ∂x = y sin 2x + cos x www.VNMATH.com
• 19. y)dy = C ⇔ y sin x − y2 2 cos2 x = C 83) Gia' i phu . o . ng trnh: (2x + 3x2 y)dx = (3y2 − x3 )dy HD gia’i: Phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n: x2 + x3 y − y3 = C 84) Gia' i phu . o . ng trnh: ( x sin y + 2)dx − (x2 + 1) cos y 2 sin2 y dy = 0 HD gia’i: ∂P ∂y = ∂Q ∂x = − x cos y sin2 y TPTQ: x 0 P(x, π 2 )dx + y π 2 Q(x, y)dy = C ⇔ x2 2 + 2x − (x2 + 1) 2 ( 1 sin y − 1) = C 85) Gia' i phu . o . ng trnh: (y + ex sin y)dx + (x + ex cos y)dy = 0 HD gia’i: Phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n, nghi^e. m t^o'ng qua t: xy + ex sin y = C. 86) Gia' i phu . o . ng trnh: (x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0 HD gia’i: Phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n: NTQ x2 + 2(x sin y − cos y) = C. 87) Gia' i phu . o . ng trnh: 3x2 (1 + ln y)dx = (2y − x3 y )dy HD gia’i: Phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n: Nghi^e. m t^o'ng qua t: x3 (1 + ln y) − y2 = C 88) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh vi ph^an: 3x2 (1 + ln y)dx = (2y − x3 y )dy HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n co tch ph^an t^o'ng qua t la: x3 (1 + ln y) − y2 = C 89) Ha~ y tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh: (x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0 HD gia’i: PTVPTP co tch ph^an t^o'ng qua t: x2 + 2(x sin y − cos y) = C www.VNMATH.com
• 20. tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh: 1 x − y2 (x − y)2 dx + x2 (x − y)2 − 1 y dy = 0 HD gia’i: PTVPTP co tch ph^an t^o'ng qua t: ln x y + xy x − y = C 91) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh vi ph^an: (sin xy + xy cos xy)dx + x2 cos xydy = 0 HD gia’i: Phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n co nghi^e. m t^o'ng qua t la x sin(xy) = C. 92) Ha~ y tm thu . a s^o tch ph^an cu' a phu . o . ng trnh: (x + y2 )dx − 2xydy = 0 suy ra nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh. HD gia’i: Thu . a s^o tch ph^an cu' a phu . o . ng trnh la µ(x) = 1 x2 . Nh^an hai v^e cu' a phu . o . ng trnh cho thu . a s^o tch ph^an r^o i gia' i ra x = Ce y2 x . 93) Gia' i phu . o . ng trnh: 2xy ln ydx + (x2 + y2 y2 + 1)dy = 0 HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n, thu . a s^o tch ph^an: µ(y) = 1 y nh^an thu . a s^o tch ph^an vao hai v^e cu' a phu . o . ng trnh r^o i gia' i ra du . o . . c: x2 ln y+ 1 3 (y2 +1) 3 2 = 0 94) Tm nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh (x3 + xy2 )dx + (x2 y + y3 )dy = 0. tho' a di^e u ki^e. n y(0) = 1. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n NTQ la: x4 + 2x2 y2 + y4 = C . tho' a di^e u ki^e. n y(0) = 1 khi C = 1. 95) Tm tch ph^an t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: a) − 2xydy + (y2 + x2 )dx = 0 HD gia’i: Ta tm du . o . . c thu . a s^o tch ph^an µ(x) = 1 x2 . D- u . a phu . o . ng trnh da~ cho v^e da.ng vi ph^an toan ph^a n. Khi do nghi^e. m t^o'ng qua t la x2 − y2 = Cx. www.VNMATH.com
• 21. minh rang h^e. ca c vecto . {e2x , e−x , cos x} la h^e. d^o. c l^a. p tuy^en tnh. Tnh di.nh thu . c Wronski cu' a chu ng. b) Tm tch ph^an t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: x2 − ydy − 2x(1 + x2 − y)dx = 0. HD gia’i: a) Dung di.nh ngh~a ki^e'm tra h^e. d^o. c l^a. p tuy^en tnh. D- i.nh thu . c Wronski W[y1, y2, y3](x) = 3ex (3 cos x − sin x). b) D- ^ay la phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n. Tch ph^an t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh la x2 + 2 3 (x2 − y) 3 2 = C 97) Tm tch ph^an t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: ( x2 y − y2 )dy − 2xdx = 0. HD gia’i: Ta tm du . o . . c thu . a s^o tch ph^an µ(x) = 1 y . D- u . a phu . o . ng trnh da~ cho v^e da.ng vi ph^an toan ph^a n. Khi do nghi^e. m t^o'ng qua t la 2x2 + y3 = Cy. 98) a) Chu . ng minh rang h^e. ca c vecto . {ex , e2x , x2 } la h^e. d^o. c l^a. p tuy^en tnh. b) Tm tch ph^an t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh sau: (x − y)dy + (x + y)dx = 0. HD gia’i: a) Ki^e'm tra h^e. phu . o . ng trnh la d^o. c l^a. p tuy^en tnh . b) D- ^ay la phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n n^en ta co d(xy − y2 2 + x2 2 ) = 0. V^a. y tch ph^an t^o'ng qua t la x2 − y2 + 2xy = C. 99) a) Chu . ng minh rang h^e. ca c vecto . {1, x, ex } la h^e. d^o. c l^a. p tuy^en tnh. b) Tm tch ph^an t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh sau: (x2 − y)dx + xdy = 0 HD gia’i: a) Dung di.nh ngh~a ki^e'm tra h^e. d^o. c l^a. p tuy^en tnh . b) Tm thu . a s^o tch ph^an, ta du . o . . c µ(x) = 1 x2 . Phu . o . ng trnh da~ cho du . a du . o . . c v^e da.ng phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n (1 − y x2 )dx + 1 x dy = 0. Gia' i phu . o . ng trnh nay ta du . o . . c y = Cx − x2 . 100) a) Chu . ng minh rang h^e. ca c vecto . {e2x , ex , x} la h^e. d^o. c l^a. p tuy^en tnh. b) Tm tch ph^an t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh sau: (x − y)dx − (x + y)dy = 0. HD gia’i: www.VNMATH.com
• 22. h^e. phu . o . ng trnh la d^o. c l^a. p tuy^en tnh. b) D- ^ay la phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n. Suy ra tch ph^an t^o'ng qua t co da.ng: x2 + y2 − 2xy = C. www.VNMATH.com
• 23. PHU . O . NG TR`INH VI PHˆAN (tiˆe´p theo) 101) Gia' i phu . o . ng trnh: y” + y = x + e−x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 + λ = 0 ⇔ λ1 = 0; λ2 = −1 Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = C1 + C2e−x Tm nghi^e. m ri^eng du . o . i da.ng y = y1 + y2, trong do y1, y2 la ca c nghi^e. m tu . o . ng u . ng cu' a ca c phu . o . ng trnh: y” + y = x va y” + y = e−x • V λ1 = 0 la nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da. c tru . ng n^en y1 = x(Ax + B) Bang phu . o . ng pha p h^e. s^o b^at di.nh du . o . . c: y1 = 1 2 x2 − x • λ2 = −1 la nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da. c tru . ng n^en: y2 = Axe−x Thay vao va dung h^e. s^o b^at di.nh suy ra: y2 = −xe−x Cu^oi cung NTQ: y = C1 + C2e−x + 1 2 x2 − x − xe−x 102) Gia' i phu . o . ng trnh: 2y” + 5y = 29x sin x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: 2λ2 + 5λ = 0 ⇔ λ1 = 0, λ2 = − 5 2 Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at y = C1 + C2e − 5x 2 V ±i kh^ong pha' i la nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da. c tru . ng n^en tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = (Ax + B) sin x + (Cx + D) cos x Thay vao phu . o . ng trnh du . o . . c: A = −2; B = 185 29 ; C = −5; D = − 16 29 103) Gia' i phu . o . ng trnh: y” − 2y + 5y = x sin 3x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: λ2 − 2λ + 5 = 0 ⇔ λ1 = 1 − 2i; λ2 = 1 + 2i NTQ cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x) Do ±3i kh^ong pha' i la nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da. c tru . ng n^en nghi^e. m ri^eng cu' a (2) du . o . . c tm du . o . i da.ng: y = (Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x Thay vao (2) ta du . o . . c: A = 3 26 ; B = 57 26 ; C = − 1 13 ; D = 41 13 104) Gia' i phu . o . ng trnh: y” − 2y − 3y = xe4x + x2 HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: λ2 − 2λ − 3 = 0 ⇔ λ1 = −1; λ2 = 3. NTQ cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = C1e−x + C2e3x Tm nghi^e. m ri^eng da.ng y = y1 + y2 vo . i y1 la nghi^e. m cu' a y” − 2y − 3y = xe4x y1 = e4x (Ax + B) = e4x x 5 − 6 25 con y2 la nghi^e. m ri^eng cu' a y” − 2y − 3y = x2 co da.ng: y2 = A1x2 + B1x + C1 = − 2 3 x2 + 4 9 x − 14 27 . V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1e−x + C2e3x + e4x 5 (x − 6 5 ) − 1 3 (x2 − 4 3 x + 14 9 ) www.VNMATH.com
• 24. phu . o . ng trnh: x2 y” − 2y = x3 cos x bi^et m^o. t nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at la y1 = x2 HD gia’i: Chia 2 v^e cho x2 (x = 0): y” − 2 x2 y = x cos x. Tm nghi^e. m ri^eng thu . hai cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at da.ng: p(x) = 0; q(x) = − 2 x2 . y2 = y1 1 y2 1 e− p(x)dx dx = x2 dx x4 = − 1 3x V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at la: y = C1x2 − C2. 1 3x Coi C1, C2 la ham cu' a x, a p du.ng phu . o . ng pha p hang s^o bi^en thi^en:    C1x2 + C2(− 1 3x ) = 0 C12x + C2( 1 3x2 ) = x cos x Gia' i ra:    C1 = cos x 3 ⇒ C1 = sin x 3 + K1 C2 = x3 cos x ⇒ C2 = x3 sin x + 3x2 cos x − 6x sin x + 6 cos x + K2 V^a. y NTQ: y = x2 sin x 3 − 1 3x (x3 sin x + 3x2 cos x − 6x sin x + 6 cos x) + K1x2 − K2 3x . 106) Gia' i phu . o . ng trnh: y” + 2 x y + y = cotgx x bi^et m^o. t nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at la y1 = sin x x HD gia’i: p(x) = x 2 , q(x) = 1, f(x) = cotgx x . Tm nghi^e. m ri^eng thu . hai: y2 = y1 1 y2 1 e− p(x)dx dx = sin x x x2 sin2 x e− 2 x dx dx = sin x x dx sin2 x = − cos x x NTQ cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = C1 sin x x − C2 cos x x Bi^en thi^en hang s^o:    C1 sin x x + C2( cos x x ) = 0 C1 x cos x − sin x x2 + C2 x sin x + cos x x2 = cotgx x ⇒ C1 = cos2 x sin x ⇒ C1(x) = cos2 x sin x dx + K1 = 1 − sin2 x sin x dx + K1 = dx sin x − sin xdx + K1 = ln |tg x 2 | + cos x + K1 C2 = cos x → C2 = sin x + K2 V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = · · · 107) Gia' i phu . o . ng trnh: y” − 2y + y = 1 + ex x www.VNMATH.com
• 25. trnh da. c tru . ng: λ2 − 2λ + 1 = 0 ⇔ λ = 1 NTQ cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = ex (C1x + C2) Dung phu . o . ng pha p bi^en thi^en hang s^o tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = α1(x).xex + α2(x).ex .    α1(x).xex + α2(x).ex = 0 α1(x)(ex + xex ) + α2(x).ex = 1 + ex x ⇔    α1 = e−x + 1 x α2 = −(xex + 1) V^a. y α1 = −e−x + ln |x| α2 = xe−x + e−x − x Nhu . v^a. y nghi^e. m ri^eng: y = (ln |x| − e−x )xex + (xe−x + e−x − x)ex Va nghi^e. m t^o'ng qua t: y = ex (C1x + C2) + xex ln |x| − xex + 1 108) Gia' i phu . o . ng trnh: y” + y = xe−x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: λ2 + λ = 0 ⇔ λ1 = 0; λ2 = −1 Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = C1 + C2e−x Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = xe−x (Ax + B) K^et qua' : y = C1 + C2e−x − ( x2 2 + x)e−x 109) Gia' i phu . o . ng trnh: y” − 4y + 5y = e2x + cos x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: λ2 − 4λ + 5 = 0 ⇔ λ1 = 2 − i; λ2 = 2 + i Nghi^e. m t^o'ng qua t: y = e2x (C1 cos x + C2 sin x) Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = y1 + y2 vo . i y1 = Ae2x ; y2 = A cos x + B sin y ⇒ y1 = e2x ; y2 = 1 8 cos x − 1 8 sin x Nghi^e. m t^o'ng qua t: y = e2x (C1 cos x + C2 sin x) + e2x + 1 8 (cos x − sin x) 110) Gia' i phu . o . ng trnh: y” + 4y + 4y = 1 + e−2x ln x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: λ2 + 4λ + 4 = 0 ⇔ λ = −2 NTQ : y = e−2x (C1x + C2) Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = α1(x).xe−2x + α2e−2x . α1(x).xe−2x + α2e−2x = 0 α1(e−2x − 2xe−2x ) + α2(−2e−2x ) = 1 + e−2x ln x    α1 = e−2x + ln x → α1 = 1 2 e−2x + x ln |x| − x α2 = −x(e−2x + ln x) → α2 = 1 4 e2x + x2 4 − 1 2 xe2x − x2 2 ln x ⇒ nghi^e. m ri^eng ⇒ nghi^e. m t^o'ng qua t: y = e−2x (C1x + C2) + e−2x ( 1 4 e2x − 3x2 4 + x2 2 ln x) 111) Gia' i phu . o . ng trnh: y” + y = e−x (sin x − cos x) www.VNMATH.com
• 26. a. t y = e−x z thay vao phu . o . ng trnh du . o . . c: z” − z = sin x − cos x. Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: λ2 − λ = 0 ⇔ λ = 0, λ = 1 Nghi^e. m t^o'ng qua t: z = C1 + C2ex . Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: z = A cos x + B sin x ⇒ A = 1, B = 0. V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = e−x (C1 + C2ex + cos x) 112) Gia' i phu . o . ng trnh: y” − 4y + 8y = e2x + sin 2x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: λ2 − 4λ + 8 = 0 ⇔ λ1 = 2 − 2i; λ2 = 2 + 2i Nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = e2x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) Nghi^e. m ri^eng da.ng y = y1 + y2 vo . i y1 la nghi^e. m ri^eng cu' a y” − 4y + 8y = e2x da.ng y1 = Ae2x → A = 1 4 ; y2 la nghi^e. m ri^eng cu' a y” − 4y + 8y = sin 2x da.ng y2 = A cos 2x + B sin 2x → A = 1 10 , B = 1 20 . V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = e2x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) + 1 4 e2x − 1 20 (2 cos 2x + sin 2x) . 113) Gia' i phu . o . ng trnh: y” + y = 1 sin x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: λ2 + 1 = 0 ⇔ λ = ±i NTQ : y = C1 cos x + C2 sin x Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = α1(x) cos x + α2(x) sin x Bang ca ch bi^en thi^en hang s^o    α1 cos x + α2 sin x = 0 α1(− sin x) + α2 cos x = 1 sin x ⇒ α1 = −1 α2 = cos x sin x ⇒ α1 = −x α2 = ln sin x V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1 cos x + C2 sin x − x cos x + sin x ln sin x 114) Gia' i phu . o . ng trnh: y” − 3y + 2y = 2x2 − 5 + 2ex cos x 2 HD gia’i: λ2 − 3λ + 2 = 0 ⇔ λ1 = 1; λ2 = 2 NTQ: y = C1ex + C2e2x Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = α1(x)ex + α2(x)e2x bang ca ch bi^en thi^en hang s^o: α1ex + α2e2x = 0 α1ex + α2(2e2x ) = 2x2 − 5 + 2ex cos x 2   α1 = −e−x (2x2 − 5) − 2 cos x 2 α2 = e−2x (2x2 − 5) + 2e−x cos x 2 ⇒    α1 = e−x (2x2 − 4x − 1) − 4 sin x 2 α2 = − 1 2 [e−2x (2x2 − 5) + 2(xe−2x + 1 2 e−2x )] + 8 3 (−e−2x cos x 2 + 1 2 e−x sin x 2 ) Tu . do co nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh. www.VNMATH.com
• 27. phu . o . ng trnh: y” − 4y = (2 − 4x)e2x HD gia’i: Nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1e−2x + C2e2x Nghi^e. m ri^eng da.ng: y = xe2x (Ax + B); A = − 2 3 , B = 2 3 → Nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1e−2x + C2e2x + 2 3 xe2x (1 − x) 116) Gia' i phu . o . ng trnh: y” − 2y + y = ex x + cos x HD gia’i: Nghi^e. m t^o'ng qua t: y = ex (C1x + C2) nghi^e. m ri^eng da.ng: y∗ = α1xex + α2ex bi^en thi^en hang s^o:    α1 = 1 x e−x cos x α2 = −(1 + xe−x cos x) →    α1 = ln |x| + 1 2 e−x (sin x − cos x) α2 = −x − 1 2 (xe−x (sin x − cos x) + e−x sin x) ⇒ Nghi^e. m t^o'ng qua t 117) Gia' i phu . o . ng trnh: y” − 2y + 2y = x(ex + 1) HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: λ2 − 2λ + 2 = 0 ⇔ λ1 = 1 − i λ2 = 1 + i Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng: y = ex (C1 cos x + C2 sin x) Nghi^e. m ri^eng da.ng y = y1 + y2 vo . i y1 la nghi^e. m ri^eng cu' a y” − 2y + 2y = xex co da.ng y1 = ex (Ax + B) → A = 1, B = 0; Va y2 la nghi^e. m ri^eng cu' a y” − 2y + 2y = x y2 = Ax + B → A = B = 1 2 . V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh: y = ex (C1 cos x + C2 sin x) + xex + 1 2 (x + 1) . 118) Gia' i phu . o . ng trnh: y” + 2y + y = sin x + e−x x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 + 2λ + 1 = 0 ⇔ λ = −1 (b^o. i 2) Nghi^e. m t^o'ng qua t: y = e−x (C1x + C2). Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = α1(x)xe−x + α2(x)xe−x Bi^en thi^en hang s^o:    α1 = ex sin x + 1 x α2 = −xex sin x − x 2 ⇒    α1 = ex 2 (sin x − cos x) + ln |x| α2 = −[ xex 2 (sin x − cos x) + ex 2 cos x] − x2 4 Suy ra nghi^e. m t^o'ng qua t: y = e−x (C1x + C2) + xe−x ln |x| − cos x 2 − x2 e−x 4 . www.VNMATH.com
• 28. phu . o . ng trnh: y” + y = 1 sin x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 + 1 = 0 ⇔ λ = ±i Nghi^e. m t^o'ng qua t: y = A1 cos x + A2 sin x. Bi^en thi^en hang s^o: A1 = −1 A2 = cotgx ⇒ A1 = −x A2 = ln | sin x|. V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = (C1 − x) cos x + (C2 + ln | sin x|) sin x. 120) Gia' i phu . o . ng trnh: y” + y = xex + 2e−x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 + 1 = 0 ⇔ λ = ±i Nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1 cos x + C2 sin x. Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = (Ax + B)ex + Ce−x →    2A = 1 A + B = 0 2C = 2 →    A = 1 2 B = − 1 2 C = 1 V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1 cos x + C2 sin x + 1 2 (x − 1)ex + e−x 121) Gia' i phu . o . ng trnh: y” − y − 2y = cos x − 3 sin x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 + λ − 2 = 0 ⇔ λ1 = −2; λ2 = 1 Nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1e−2x + C2ex Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = A cos x + B sin x → B − 3A = 1 −A − 3B = −3 → A = 0 B = 1 V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1e−2x + C2ex + sin x 122) Gia' i phu . o . ng trnh: y” − 2y = 2 cos2 x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 − 2λ = 0 ⇔ λ1 = 0; λ2 = 2 Nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1 + C2e2x . Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = Ax + B cos 2x + C sin 2x Thay vao du . o . . c:    −2A = 1 −4(B + C) = 1 4(B − C) = 0 →    A = − 1 2 B = − 1 8 C = − 1 8 V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1 + C2e2x − x 2 − 1 8 (cos 2x + sin 2x) 123) Gia' i phu . o . ng trnh: y” + y = sin x + cos 2x www.VNMATH.com
• 29. trnh da. c tru . ng λ2 + 1 = 0 ⇔ λ = ±i Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = C1 cos x + C2 sin x. Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = x(A cos x + B sin x) + C cos 2x + D sin 2x Thay vao phu . o . ng trnh va d^o ng nh^at du . o . . c: A = − 1 2 ; B = 0; C = − 1 3 ; D = 0 V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1 cos x + C2 sin x − 1 2 x cos x − 1 3 cos 2x. 124) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh vi ph^an: y − 2y = 2 cos2 x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 − 2λ = 0 ⇐⇒ λ1 = 0; λ2 = 2. Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh tuy^en tnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng: y = C1 + C2e2x . Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y∗ = Ax + B cos 2x + C sin 2x D- u . o . . c A = − 1 2 ; B = − 1 8 ; C = − 1 8 . V^a. y NTQ: y = C1 + C2e2x − x 2 − 1 8 (cos 2x + sin 2x) 125) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh vi ph^an: (x + e x y )dx + e x y (1 − x y )dy = 0. HD gia’i: Phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n co tch ph^an t^o'ng qua t; x2 2 + ye x y = C. 126) Gia' i phu . o . ng trnh: y − 6y + 9y = 25ex sin x. HD gia’i: NTQ cu' a phu . o . ng trnh tuy^en tnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng y = (C1+C2x)e3x . Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y∗ = ex (A cos x + B sin x); du . o . . c A = 4; B = 3. V^a. y NTQ: y = (C1 + C2x)e3x + ex (3 cos x + 4 sin x) 127) Ha~ y tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh: y − 2y + 2y = x(ex + 1) HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 − 2λ + 2 = 0 ⇐⇒ λ1 = 1 ± i. Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh tuy^en tnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng: y = ex (C1 cos x + C2 sin x). Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y∗ = y1 + y2; vo . i y1 la nghi^e. m ri^eng cu' a y − 2y + 2y = xex , co da.ng y1 = ex (Ax + B) =⇒ A = 1; B = 0 va y2 la nghi^e. m ri^eng cu' a y − 2y + 2y = x, co da.ng y2 = A x + B =⇒ A = B = 1 2 . v^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = ex (C1 cos x + C2 sin x) + xex + 1 2 (x + 1) www.VNMATH.com
• 30. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh: x2 y − 2y = x3 cos x bi^et m^o. t nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at la y1 = x2 . HD gia’i: Tm NR da.ng y2 = uy1 = ux2 du . o . . c y2 = − 1 3x . Nhu . v^a. y NTQ: y = C1x2 + C2 x . Bi^en thi^en hang s^o du . o . . c C 1 = − 1 3 cos x; C 2 = x3 cos x ... 129) Gia' i phu . o . ng trnh vi ph^an sau d^ay n^eu bi^et m^o. t nghi^e. m ri^eng cu' a no co da. ng da thu . c: (x2 + 1)y − 2y = 0 HD gia’i: D^e~ th^ay y1 = x2 + 1 la m^o. t nghi^e. m ri^eng cu' a phuu . o . ng trnh, nghi^e. m ri^eng thu . hai d^o. c l^a. p tuy^en tnh vo . i y1 la: y2 = y1 1 y1 2 e− 0.dx dx = (x2 + 1) dx (x2 + 1)2 = 1 2 (x2 + 1)( x x2 + 1 + arctan x) V^a. y NTQ: y = C1(x2 + 1) + C2(x2 + 1)( x x2 + 1 + arctan x) 130) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh: y + y = sin x + cos 2x. HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 + 1 = 0 ⇐⇒ λ1 = ±i. Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh tuy^en tnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng: y = C1 cos x + C2 sin x. Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y∗ = y1 + y2; vo . i y1 la nghi^e. m ri^eng cu' a y + y = sin x, du . o . . c y1 = − 1 2 x cos x va y2 la nghi^e. m ri^eng cu' a y + y = cos 2x, du . o . . c y2 = − 1 3 cos 2x. V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1 cos x + C2 sin x − 1 2 x cos x − 1 3 cos 2x 131) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh vi ph^an: y + 10y + 25y = 4e−5x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng r2 + 10r + 25 = 0 gia' i ra r1 = r2 = 5 NTQ cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = (C1 + C2x)e−5x va NR cu' a phu . o . ng trnh kh^ong thu^a n nh^at: y∗ = 2x2 e−5x . V^a. y NTQ: y = (C1 + C2x)e−5x + 2x2 e−5x 132) Bi^et rang phu . o . ng trnh xy + 2y + xy = 0 co nghi^e. m ri^eng da. ng y = sin x x . Ha~ y tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh. HD gia’i: Nghi^e. m ri^eng d^o. c l^a. p tuy^en tnh vo . i y = sin x x la y = cos x x . V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh la y = C1. sin x x + C2. cos x x www.VNMATH.com
• 31. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh vi ph^an: y + y = 4x2 ex HD gia’i: Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng: y = C1+C2e−x Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y∗ = (A1x2 + A2x + A3)e−x , gia' i ra A1 = 2; A2 = −6; A3 = 7. 134) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh vi ph^an: y + 3y + 2y = x sin x HD gia’i: Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng: y = C1e−x + C2e−2x . Nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh kh^ong thu^a n nh^at du . o . . c tm du . o . i da.ng: y = (A1x + A2) cos x + (B1x + B2) sin x va tm du . o . . c A1 = − 3 10 ; A2 = 17 50 ; B1 = 1 10 ; B2 = 3 25 . 135) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” − 2y + 2y = xex HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = ex (C1 cos x + C2 sin x) + 1 2 (x + 1) + ex 136) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” + y = cos 2x. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1 cos x + C2 sin x + 1 2 − 1 6 cos 2x. 137) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh: (1 − x2 )y” − 2xy + 2y = 0 khi bi^et m^o. t nghi^e. m ri^eng y1 = x. HD gia’i: Chuy^e'n v^e da.ng y” + p1(x)y + p2(x)y = 0. Vo . i p1(x) = − 2x 1 − x2 n^en nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh da~ cho la y = x{ C1 e 2x 1−x2 dx x2 dx + C2} = x{C1 dx x2(1 − x2) + C2} = x{(− 1 x + 1 2 ln 1 + x 1 − x ) + C2} = C2x + C1( x 2 ln 1 + x 1 − x − 1). 138) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” − 3y + 2y = 2 + ex HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: www.VNMATH.com
• 32. C2e2x − 2xex . 139) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” − y = sin2 x. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1 + C2ex + 1 2 cos x − 1 2 ln x. 140) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” − 2y + 10y = xex HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1ex cos 3x + C2ex sin 3x − 1 9 xex . 141) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” + y = cos 2x + sin x. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1ex cos x + C2ex sin x − 1 3 cos 2x − 1 2 x cos x. 142) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” − 2y + y = xex HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1ex + C2xex + x3 6 ex . 143) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” + y = cos 2x. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1 + C2e−x + 1 10 sin 2x − 1 5 cos 2x. 144) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh y” + 3 x y + 1 x2 y = 0, khi bi^et m^o. t nghi^e. m ri^eng co da. ng y1 = 1 x . www.VNMATH.com
• 33. trnh da~ cho tu . o . ng du . o . ng vo . i phu . o . ng trnh x2 y” + 3xy + y = 0. D- ^ay la phu . o . ng trnh Euler n^en ta co th^e' du . a v^e phu . o . ng trnh tuy^en tnh vo . i h^e. s^o hang bang ca ch da. t x = et . Khi do phu . o . ng trnh da~ cho tro .' thanh yt” + 2yt + y = 0. Phu . o . ng trnh nay co nghi^e. m la y = C1e−t + C2te−t . V^a. y nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da~ cho la y = C1 x + C2 ln |x| x . 145) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang a) y” − 3y + 2y = 2e2x HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1ex + C2e2x + 2e2x . 146) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang a) y” + y = 1 cos2 x HD gia’i: Nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at y = C1 cos x + C2 sin x. Dung phu . o . ng pha p bi^en thi^en hang s^o ta du . o . . c C1(x) = − sin x cos2 x va C2(x) = 1 cos x . V^a. y nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh la y = C1 cos x + C2 sin x − 1 + sin x 2 ln | 1 + sin x 1 − sin x |. 147) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” − 2y + 2y = x + ex HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = ex (C1 cos x + C2 sin x) + 1 2 (x + 1) + ex . 148) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” + y = cos2 x. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1 cos x + C2 sin x + 1 2 − 1 6 cos 2x. 149) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh xy” + y − 1 x y = 0, khi bi^et m^o. t nghi^e. m ri^eng co da. ng y1 = a x . www.VNMATH.com
• 34. = 1 x la m^o. t nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh. Ta tm nghi^e. m ri^eng y2 = u(x) 1 x . Thay vao phu . o . ng trnh ta tm du . o . . c y2 = x. V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh la y = C1 x + C2x. 150) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang a) y” − 3y + 2y = 2ex HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1ex + C2e2x − 2xex . 151) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” − y = sin x. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1 + C2ex + 1 2 cos x − 1 2 sin x. 152) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh x2 y” − 2xy − 4y = 0, khi bi^et m^o. t nghi^e. m ri^eng co da. ng y1 = 1 x . HD gia’i: y1 = 1 x la m^o. t nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh. Ta tm nghi^e. m ri^eng y2 = u(x) 1 x . Thay vao phu . o . ng trnh ta tm du . o . . c y2 = x4 . V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh la y = C1 x + C2x4 . 153) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” + y = x + 2ex HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1 cos x + C2 sin x + x + ex . 154) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” − y + y = x. www.VNMATH.com
• 35. la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = e x 2 (C1 cos √ 3 2 x + C2 sin √ 3 2 x) + 1 + x. 155) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” − 2y + y = x + ex HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1ex + C2xex + 2 + 1 2 x2 ex . 156) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” + y = sin2 x. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1 cos x + C2 sin x + 1 2 + 1 6 cos 2x. 157) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 sau: xy” − y − 1 x y = 0. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh Euler n^en ta co th^e' du . a v^e phu . o . ng trnh tuy^en tnh vo . i h^e. s^o hang bang ca ch da. t x = et . Khi do phu . o . ng trnh da~ cho tro .' thanh yt” − 2yt − y = 0. Phu . o . ng trnh nay co nghi^e. m la y = C1e(1+ √ 2)t + C2e(1− √ 2)t . V^a. y nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da~ cho la y = C1x1+ √ 2 + C2x1− √ 2 . 158) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang sau: y” − 3y + 2y = 2 cos x HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1ex + C2e2x + 1 5 cos x − 3 5 sin x. 159) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang sau: y” − y = sin x + ex . www.VNMATH.com
• 36. ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1 + C2ex + xex + 1 2 cos x − 1 2 sin x. 160) Dung phe p d^o'i ham y = z x2 d^e' gia' i phu . o . ng trnh vi ph^an: x2 y” + 4xy + (x2 + 2)y = ex HD gia’i: y = z x2 ⇒ y = z x − 2z x3 ; y” = z”x2 − 4z x + 6z x4 Phu . o . ng trnh tro .' thanh: z” + z = ex co m^o. t nghi^e. m ri^eng y = ex 2 Phu . o . ng trnh thu^a n nh^at co phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 + 1 = 0 ⇔ λ = ±i V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: z = C1 cos x + C2 sin x + ex 2 V^a. y y = C1 cos x x2 + C2 sin x x2 + ex 2x2 161) Gia' i phu . o . ng trnh y” cos x + y sin x − y cos3 x = 0 bang phe p bi^en d^o'i t = sin x HD gia’i: t = sin x : yx = yt.tx = yt cos x y”xx = y”tt cos2 x − yt sin x Thay vao phu . o . ng trnh: y”tt − y = 0 → y = C1et + C2e−t = C1esin x + C2e− sin x 162) Tm nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh (x + e x y )dx + e x y (1 − x y ) = 0 thoa' di^e u ki^e. n y(0) = 2 HD gia’i: ∂P ∂y = ∂Q ∂x = − x y2 e x y , y = 0 TPTQ: x2 2 + ye x y = C y(0) = 2 ⇒ C = 2. 163) Gia' i phu . o . ng trnh vi ph^an y” + y tgx − y cos2 x = 0 bang phe p bi^en d^o'i t = sin x HD gia’i: Tu . o . ng tu . . bai 2 164) Cho bi^e'u thu . c: h(x) ( 1 x + y − ln(x + y))dx + 1 x + y dy . Ha~ y tm ham s^o h(x) sao cho bi^e'u thu . c tr^en tro . ' thanh vi ph^an toan ph^a n cu' a m^o. t ham F(x, y) va tm ham s^o do . HD gia’i: D- a. t P = h(x) 1 x + y ln (x + y) Q = h(x). 1 x + y (D- i^e u ki^e. n x+y 0) d^e' Pdx + Qdy la vi ph^an toan ph^a n: ∂P ∂y = ∂Q ∂x ⇔ −h(x)(x + y + 1) (x + y)2 = h (x)(x + y) − h(x) (x + y)2 www.VNMATH.com
• 37. + y) + h(x + y) = 0 ⇔ h + h = 0 ⇔ h(x) = e−x Va F(x, y) = e−x ln(x + y) 165) Gia' i phu . o . ng trnh vi ph^an : xy” + 2(1 − x)y + (x − 2)y = e−x bang phe p d^o'i ^a'n ham z = yx HD gia’i: z = yx ⇔ y = z x ; y = z x − z x2 = ...; y” = ... tu . o . ng tu . . bai 1 166) Cho P(x, y) = ex sin y + 2m2 x cos y; Q(x, y) = ex cos y + mx2 sin y. Tm m d^e' P(x, y)dx + Q(x, y)dy la vi ph^an toan ph^a n cu' a ham s^o F(x, y) nao do va tm ham ^ay. HD gia’i: ∂P ∂y = ∂Q ∂x ⇔ 2x sin y(m2 + m) = 0 Cho.n m = 0V m = −1. 167) Gia' i phu . o . ng trnh x2 y” + 2xy + y x2 = 0 bang phe p bi^en d^o'i x = 1 t HD gia’i: 168) Tm ham µ(x2 + y2 ) sao cho µ(x2 + y2 ) (x − y)dx + (x + y)dy la vi ph^an toan ph^a n cu' a m^o. t ham F(x, y) nao do . Tm ham F(x, y) n^eu bi^et µ(1, 1) = 0; µ( √ 2, √ 2) = ln 2 HD gia’i: P(x, y) = h(x2 + y2 )(x − y); Q(x, y) = h(x2 + y2 )(x + y) D- ^e' h(x − y)dx + h(x + y)dy la vi ph^an toan ph^a n ta pha' i co : ∂P ∂y = ∂Q ∂x D- a. t t = x2 + y2 ⇒ ht.2y(x − y) − h = ht.2y(x + y) + h ⇔ −ht(x2 + y2 ) = h ⇔ htt = h ⇒ h = C1 t ⇒ h = C1 x2 + y2 . ⇒ F(x, y) = C1 x 1 x − 0 x2 + 02 dx + C1 y 0 x + y x2 + y2 dy = C1arctg y 2 + C1 2 ln(x2 + y2 ) + C2 F(1, 1) = 0; F( √ 2, √ 2) = ln 2 Cho: C1 = 2; C2 = −( π 2 + ln 2) 169) Gia' i phu . o . ng trnh x2 y” + xy + y = x bang phe p d^o'i bi^en x = et HD gia’i: x = et ta co : yx = yt. 1 x ; y”xx = (y”tt − yt) 1 x2 Thay vao phu . o . ng trnh: y”tt + y = et Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = C1 cos t + C2 sin t Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y + Aet ; A = 1 2 V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1 cos (ln x) + C2 sin (ln x) + x 2 www.VNMATH.com
• 38. phu . o . ng trnh vi ph^an: xy” − (x + 1)y − 2(x − 1)y + x2 = 0 bi^et rang phu . o . ng trnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng co m^o. t nghi^e. m ri^eng y1 = eαx vo . i α la hang s^o c^a n xa c di.nh. HD gia’i: Thay nghi^e. m y1 = eαx vao phu . o . ng trnh r^o i d^o ng nh^at du . o . . c α = 2 D- u . a phu . o . ng trnh v^e da.ng: y” − x + 1 x y − 2(x − 1) x y = −x; x = 0 p(x) = − x + 1 x ; q(x) = − 2(x − 1) x ; f(x) = −x Tm nghi^e. m ri^eng: y2 = e2x e−4x e x + 1 x dx dx = − 1 9 (3x + 1)e−x . Suy ra nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = C1e2x + C2(3x + 1)e−x Bi^en thi^en hang s^o:    C1 = − 1 9 (3x + 1)e−2x C2 = 1 9 ex →    C1 = 1 36 (6x + 5)e−2x C2 = 1 9 ex ⇒ NTQ. 171) Gia' i phu . o . ng trnh vi ph^an x2 y − 4xy + 6y = 0 bang phe p d^o'i bi^en x = et . HD gia’i: x = et , ta co : yx = yt. 1 x , y”xx = (y”tt − yt) 1 x2 Phu . o . ng trnh tro .' thanh: y”tt − 5yt + 6y = 0 ⇒ NTQ: y = C1x2 + C2x3 172) Gia' i phu . o . ng trnh vi ph^an: y” − (2ex + 1)y + e2x y = e3x bang phe p d^o'i bi^en t = ex . HD gia’i: D- ^o'i bi^en t = ex ⇒ yx = yt.ex , y”xx = y”tt.e2x + yt.ex Thay vao phu . o . ng trnh: y”tt − 2yt + y = t3 Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = et (C1t + C2) Tm nghi^e. m ri^eng da.ng y = At3 + Bt2 + Ct + D → y = t3 + 6t2 + 18t + 24 K^et qua' y = eex (C1ex + C2) + e3x + 6e2x + 18ex + 24. 173) Gia' i phu . o . ng trnh vi ph^an: (x − 1)y” − xy + y = (x − 1)2 e2x bi^et m^o. t nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng co da. ng y = eαx (α c^a n xa c di.nh). HD gia’i: D- u . a phu . o . ng trnh v^e : y” − x x − 1 .y + 1 x − 1 .y = (x − 1)e2x Vo . i p(x) = x x − 1 ; q(x) = 1 x − 1 ; f(x) = (x − 1)e2x Thay y1 = eαx vao phu . o . ng trnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng r^o i d^o ng nh^at suy ra α = 1 Tm nghi^e. m ri^eng y2 = ex e−2x e x x−1 dx dx = −x www.VNMATH.com
• 39. = C1ex + C2(−x) Bi^en thi^en hang s^o: C1 = xex C2 = e2x →    C1 = xex − ex + K1 C2 = 1 2 e2x + K2 V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = ( x 2 − 1)e2x + K1ex − K2x 174) Gia' i phu . o . ng trnh vi ph^an: x2 (x + 1)y” = 2y bi^et m^o. t nghi^e. m y1 = 1 + 1 x . HD gia’i: D- u . a phu . o . ng trnh v^e : y − 2 x2(x + 1) .y = 0; p(x) = 0; f(x) = 0. Tm NR da.ng y2 = (1 + 1 x ) x2 (x + 1)2 .e− 0dx dx = (1 + 1 x )(x − 2 ln |x + 1| − 1 1 + x ) = x + 1 − x + 1 x ln(x + 1)2 − 1 x . V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1(1 + 1 x ) + C2(x − 1 x − 1 + x + 1 x ln(x + 1)2 + 1). 175) Gia' i phu . o . ng trnh vi ph^an (x2 + 1)y” − 2y = 0 n^eu bi^et m^o. t nghi^e. m cu' a no co da. ng da thu . c. HD gia’i: D^e~ th^ay y1 = x2 + 1 la m^o. t nghi^e. m ri^eng cu' a (1). Nghiˆe.m th´u. hai: y2 = y1 1 y2 1 .e− p(x)dx dx = (x2 + 1) dx (x2 + 1)2 = 1 2 (x2 + 1)( x x2 + 1 + arctgx) V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1(x2 + 1) + C2(x2 + 1)( x x2 + 1 + arctgx). 176) Gia' i phu . o . ng trnh vi ph^an xy” + 2y − xy = ex bang phe p d^o'i ham z = xy. HD gia’i: D- a. t z = xy ⇒ z = y + xy ; z = 2y + xy . Thay vao phu . o . ng trnh: z − z = ex → NTQ z = C1 + C2ex Nghi^e. m ri^eng da.ng: y = Axex → A = 1 2 V^a. y: y = z x = 1 x (C1 + C2ex + 1 2 xex ) 177) Chu . ng to' rang ham: f(x) = ∞ n=0 xn+1 n! la nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh xf (x) − (x + 1)f(x) = 0. www.VNMATH.com
• 40. tnh ch^at D'Alembert d^e' chu . ng to' chu^o~i ∞ n=0 xn+1 n! h^o. i tu. vo . i mo.i x Nhu . v^a. y ham f(x) = ∞ n=0 xn+1 n! xa c di.nh vo . i mo.i x. Ho . n n~u . a: f(x) = x ∞ n=0 xn n! = xex ⇒ xf (x) − (x + 1)f(x) = x(x + 1)ex − (x + 1)xex = 0, ∀x di^e u pha' i chu . ng minh. 178) Gia' i phu . o . ng trnh x(x2 + 6)y” − 4(x2 + 3)y + 6xy = 0 bi^et rang no co nghi^e. m da. ng da thu . c. HD gia’i: Ta tm nghi^e. m ri^eng du . o . i da.ng y1 = Ax2 + Bx + C ⇒ y1 = x2 + 2 nghi^e. m ri^eng thu . hai: y2 = y1 1 y2 1 e− − 4(x2+3) x(x+6) dx dx = (x2 + 2) x2 (x2 + 6) (x2 + 2)2 dx = (x2 + 2)(x + 2x (x2 + 2) + 2 √ 2arctg x √ 2 ) V^a. y NTQ: y = C1(x2 + 2) + C2[x3 + 4x + 2 √ 2(x2 + 2)arctg x √ 2 ] 179) Gia' i phu . o . ng trnh (2x + 1)y” + (2x − 1)y − 2y = x2 + x bi^et rang no co hai nghi^e. m ri^eng y1 = x2 + 4x − 1 2 ; y2 = x2 + 1 2 . HD gia’i: Tu . hai nghi^e. m ri^eng y1, y2 cu' a phu . o . ng trnh ta suy ra nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at la y1 = y1 − y2 = 2x − 1 Suy ra nghi^e. m thu . hai: y2 = y1 1 y1 2 e− p(x)dx dx = (2x − 1) 1 (2x − 1)2 e− 2x−1 2x+1 dx dx = 2(x − 1) (2x + 1)e−x (2x − 1)2 dx = 1 2 (2x − 1)[− (2x + 1)e−x (2x − 1)2 + e−x (1 − 2x) 2x − 1 dx] = −e−x Suy ra NTQ: y = C1(2x − 1) + C2e−x Va nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh ban d^a u: y = C1(2x − 1) + C2e−x + x2 + 1 2 180) Xa c di.nh hang s^o α sao cho y = eαx2 la m^o. t nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh vi ph^an: y” + 4xy + (4x2 + 2)y = 0. Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh ^ay. HD gia’i: Ta tm nghi^e. m ri^eng du . o . i da.ng y = eαx2 thay vao du . o . . c α = −1 va nghi^e. m ri^eng y1 = e−x2 Nghi^e. m thu . hai: y2 = y1 1 y2 1 e− P(x)dx dx = e−x2 e2x2 e− 4xdx dx = xe−x2 . V^a. y NTQ: y = C1e−x2 + C2xe−x2 . 181) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = 3x − y dy dt = 4x − y www.VNMATH.com
• 41. trnh da. c tru . ng 3 − λ −1 4 −1 − λ = (λ − 1)2 = 0 ⇔ λ = 1 (b^o. i 2) Tm nghi^e. m da.ng x y = (at + b)et (ct + d)et thay vao h^e. r^o i d^o ng nh^at du . o . . c:    a = 3a − c a + b = 3b − d c = 4a − c c + d = 4b − d Cho a = C1, b = C2 ⇒ c = 2C1, d = 2C2 − C1 V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: x = (C1t + C2)et y = (2C1t + 2C2 − C1)et . 182) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = 2x + y dy dt = 4y − x HD gia’i: Tu . o . ng tu . . bai 1), phu . o . ng trnh da. c tru . ng co nghi^e. m λ = 3 (b^o. i 2) Tm nghi^e. m da.ng (at + b)e3t (ct + d)e3t ⇒ a = C1, c = C1, b = C2, d = C1 + C2 V^a. y NTQ: x = (C1t + C2)e3t y = (2C1t + C1 + C2)e3t . 183) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = x − 2y − z dy dt = y − x + z dz dt = x − z HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng 1 − λ −2 −1 −1 1 − λ 1 1 0 −1 − λ = 0 ⇔ λ(λ2 − λ − 2) = 0 ⇔ λ1 = 0, λ2 = −1, λ3 = 2 Vo . i ca c λi; i = 1, 2, 3 gia' i h^e. :   1 − λi −2 −1 −1 1 − λi 1 1 0 −1 − λi     P1i P2i P3i   = 0 D- ^e' tm nghi^e. m ri^eng tu . o . ng u . ng. Tu . do suy ra h^e. nghi^e. m co . ba' n: x1 = 1, y1 = 0, z1 = 1; x2 = 0, y2 = e−t , z2 = −2e−t ; x3 = 3e2t , y3 = −2e−2t , z3 = e2t . V^a. y h^e. nghi^e. m t^o'ng qua t:    x = C1 + 3C3e2t y = C2e−t − 2C3e2t z = C1 − 2C2e−t + C3e2t 184) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt − 5x − 3x = 0 dy dt + 3x + y = 0 HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng 5 − λ 3 −3 −λ − 1 = 0 ⇔ λ = 2 (b^o. i 2) www.VNMATH.com
• 42. co da.ng at + b ct + d e2t thay vao h^e. ⇒    a − 3b = 3d a + c = 0 c + 3b = −3d Cho a = C1, b = C2 ⇒ c = −C1, d = C1 3 − C2 V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t:    x = (C1t + C2)e2t y = (−C1t + C1 3 − C2)e2t . 185) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = 2x − 3y dy dt = x − 2y + 2 sin t HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng co hai nghi^e. m λ1,2 = ±1 + λ1 = −1 gia' i h^e. : 0 0 = 3 −3 1 −1 γ11 γ12 ⇒ γ11 = γ12 = 1. + λ2 = 1 gia' i h^e. : 1 −3 1 −3 γ21 γ22 = 0 0 ⇒ γ21 = 3; γ22 = 1. H^e. nghi^e. m co . ba' n cu' a h^e. thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng la: x1 = e−t y1 = e−t ; x2 = 3et y2 = et V^a. y NTQ cu' a h^e. thu^a n nh^at: x(t) = C1e−t + 3C2et y(t) = C1e−t + C2et Bi^en thi^en hang s^o: C1e−t + 3C2et = 0 C1e−t + C2et = 2 sin t ⇒ C1 = 3et sin t C2 = e−t sin t ⇒    C1(t) = 3 2 et (sin t − cos t) C2(t) = − 1 2 e−t (sin t + cos t) V^a. y NTQ: x(t) = C1e−t + 3C2et − 3 cos t y(t) = C1e−t + C2et + sin t − 2 cos t 186) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = 2x − y + z dy dt = x + 2y − z dz dt = x − y + 2z HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: (λ − 1)(λ − 2)(λ − 3) = 0 co 3 nghi^e. m λ1 = 1; λ2 = 2; λ3 = 3. u . ng vo . i λi gia' i h^e. :   2 − λi −1 1 1 2 − λi −1 1 −1 2 − λi     P1i P2i P3i   =   0 0 0   D- u . o . . c   0 1 1   ;   1 1 1   ;   1 0 1  . Suy ra h^e. nghi^e. m co . ba' n   0 et et   ;   e2t e2t e2t   ;   e3t 0 e3t   www.VNMATH.com
• 43. = C2e2t + C3e3t y = C1et + C2e2t z = C1et + C2e2t + C3e3t . 187) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = y − 5 cos t dy dt = 2x + y HD gia’i: Dung phu . o . ng pha p khu .' : L^ay da.o ham theo t phu . o . ng trnh thu . hai: y” = 2x + y D- ^e' y phu . o . ng trnh d^a u, du . a v^e : y” = 2(y − 5 cos t) + y ⇔ y” − y − 2y = −10 cos t. D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap hai, gia' i ra du . o . . c nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1e2t + C2e−t + 3 cos t + sin t Thay vao phu . o . ng trnh d^a u: x = 1 2 C1e2t − C2e−t − cos t − 2 sin t V^a. y NTQ: x = A1e2t + A2e−t − cos t − 2 sin t y = 2A1e2t − A2e−t + 3 cos t + sin t. 188) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh: y = 3y + 2z + 4e5x z = y + 2z HD gia’i: Nghi^e. m phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ1 = 1; λ2 = 4; NTQ: y = C1ex + 2C2e4x z = −C1ex + C2e4x Bi^en thi^en hang s^o:    C1 = 4 3 e4x C2 = 4 3 ex → NTQ y = C1ex + 2C2e4x + 3e5x z = −C1ex + C2e4x + e5x 189) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh: y = 2y − z + 2ex z = 3y − 2z + 4ex HD gia’i: Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a h^e. thu^a n nh^at: y = C1ex + C2e−x z = C1ex + 3C2e−x Nghi^e. m ri^eng cu' a h^e. kh^ong thu^a n nh^at: y∗ = xex z∗ = (x + 1)ex . V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1ex + C2e−x + xex z = C1ex + 3C2e−x + (x + 1)ex . 190) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh: y = 2y − 4z + 4e−2x z = 2y − 2z www.VNMATH.com
• 44. m t^o'ng qua t: y = C1(cos 2x − sin 2x) + C2(cos 2x + sin 2x) z = C1 cos 2x + C2 sin 2x + e−2x . 191) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dy dx = y + z dz dx = z − 4y. HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 − 2λ + 5 = 0. Khi do λ1 = 1 + 2i, λ2 = 1 − 2i. H^e. thu^a n nh^at co nghi^e. m y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = 2ex (C2 cos 2x − C1 sin 2x). 192) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dy dx = y + z + ex dz dx = z − 4y. HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 − 2λ + 5 = 0. Khi do λ1 = 1 + 2i, λ2 = 1 − 2i. H^e. thu^a n nh^at co nghi^e. m y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = 2ex (C2 cos 2x − C1 sin 2x). Va nghi^e. m cu' a h^e. kh^ong thu^a n nh^at y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = 2ex (C2 cos 2x − C1 sin 2x) − ex . 193) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dy dx = 2y − z dz dx = 2z + 4y + e2x . HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 − 4λ + 8 = 0. Khi do λ1 = 2 + 2i, λ2 = 2 − 2i. H^e. thu^a n nh^at co nghi^e. m y = e2x (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = −2e2x (C2 cos 2x − C1 sin 2x). Va nghi^e. m cu' a h^e. kh^ong thu^a n nh^at y = e2x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) − 1 4 e2x , z = −2e2x (C2 cos 2x − C1 sin 2x). 194) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dy dx = 2y + z + ex dz dx = z − 4y. HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 − 2λ + 5 = 0. Khi do λ1 = 1 + 2i, www.VNMATH.com
• 45. − 2i. H^e. thu^a n nh^at co nghi^e. m y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = 2ex (C2 cos 2x − C1 sin 2x). Va nghi^e. m cu' a h^e. kh^ong thu^a n nh^at y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = 2ex (C2 cos 2x − C1 sin 2x) − ex . 195) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = x + 2y dy dt = x − 5 sin t. HD gia’i: Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a h^e. phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: x = C1e−t + 2C2e2t y = −C1et + C2e2t . Bi^en thi^en hang s^o d^e' du . o . . c nghi^e. m: x = C1e−t + 2C2e2t + 8 3 sin t + 4 3 cos t y = −C1et + C2e2t + 2 cos t − sin t. 196) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = x − 2y + et dy dt = x + 4y + e2t . HD gia’i: Nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da. c tru . ng: r1 = 2; r2 = 3; tu . do du . o . . c NTQ cu' a h^e. phu . o . ng trnh thu^a n nh^at la: x = 2C1e2t + C2e3t y = −C1e2t − C2e3t . Bi^en thi^en hang s^o d^e' du . o . . c nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a h^e. kh^ong thu^a n nh^at:    x = 2C1e2t + C2e3t − 3 2 et + 2te2t y = −C1e2t − C2e3t + 1 2 et − (t + 1)e2t . 197) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = 2x + y dy dt = 4y − z. HD gia’i: Nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da. c tru . ng: r1 = r2 = 3. V^a. y NTQ co da.ng: x = (λ1 + µ1t)e3t y = (λ2 + µ2t)e3t . vo . i λ2 = λ1 + µ1; µ2 = µ1 Tu . c la: x = (C1 + C2t)e3t y = (C1 + C2 + C2t)e3t . www.VNMATH.com
• 46. m cu' a h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = 3x + 8y dy dt = −x − 3y tho' a ma~ n ca c di^e u ki^e. n: x(0) = 6; y(0) = −2 HD gia’i: Tu . phu . o . ng trnh thu . hai: x = − dy dt − 3y, l^ay da.o ham theo t hai v^e, r^o i thay vao phu . o . ng trnh thu . nh^at cu' a h^e. du . o . . c: d2 y dt − y = 0, gia' i ra: y = C1et − C2e−t , suy ra x = −4C1et − 2C2e−t tho' a ma~ n ca c di^e u ki^e. n x(0) = 6; y(0) = −2, suy ra C1 = C2 = −1. V^a. y nghi^e. m cu' a h^e. : x = 4et + 2e−t y = −et − e−t 199) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = 3x − y + z dy dt = −x + 5y − z dz dt = x − y + 3z. HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: λ3 − 11λ2 + 36λ − 36 = 0, gia' i ra λ1 = 2; λ2 = 3; λ3 = 6. Tu . do du . o . . c ba h^e. nghi^e. m co . ba' n:   e2t e3t e6t   ;   0 e3t −2e6t   ;   −e2t e3t e6t   . V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t:    x = C1e2t + C2e3t + C3e6t y = C2e3t − 2C3e6t z = −C1e2t + C2e2t + C3e6t . 200) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a h^e. phu . o . ng trnh:    dy dx = y + z dz dx = z − 4y. HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: (λ − 1)(λ − 2) = 0, gia' i ra λ1 = 1; λ2 = 2. Tu . do du . o . . c ba h^e. nghi^e. m co . ba' n: ex −ex ; 2e2x −3e2x . V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1ex + 2C2e3x z = −C1ex − 3C2e2x . www.VNMATH.com
• 47. h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = 2x − 3y dy dt = x − 2y + 2 sin t. HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng co ca c nghi^e. m λ1 = −1; λ2 = 1. Tu . do du . o . . c h^e. nghi^e. m co . ba' n: e−t e−t ; 3et et . V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: x = C1e−t + 3C2et y = C1e−t + C2et . Bi^en thi^en hang s^o: C 1e−t + 3C 2et = 0 C 1e−t + C 2et = 2 sin t. ⇐⇒ C 1 = 3et sin t C 2 = e−t sin t. Gia' i ra:    C1(t) = 3 2 et (sin t − cos t) C2(t) = − 1 2 e−t (sin t + cos t). V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a h^e. : x(t) = C1e−t + 3C2et − 3 cos t y(t) = C1e−t + C2et + sin t − 2 cos t. www.VNMATH.com