VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc hoặc song song, vuông góc với một đường thẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc hoặc song song, vuông góc với một đường thẳng: DẠNG 2. VIẾT PTTT KHI BIẾT HỆ SỐ GÓC HOẶC SONG SONG, VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG. PHƯƠNG PHÁP: Gọi M [x + y][C] là tiếp điểm. Ta có k = g[x] = a, giải phương trình y[x] = a = xy. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Cho hàm số y, có đồ thị [C]. Viết phương trình tiếp tuyến A với [C] biết hệ số góc k = 1. Lời giải. Tập xác định D = IR. Gọi M [x – y] là tiếp điểm y[x] = k. Phương trình tiếp tuyến tại M là A: y = 1[x – 1]. Phương trình tiếp tuyến tại M là A: y = 1[x + 2] + 2 + y = x + 4.
Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến [A] của đồ thị [C], biết tiếp tuyến song song với d]: y = 3x – 2. Lời giải Gọi M là tọa độ tiếp điểm của [A] với [C]. Ta có y = 2x – 3. Phương trình tiếp tuyến [A] tại điểm M là [A]: y = 3[x – 3] + 2 = 3x – 7. Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến A của đồ thị [C], biết A vuông góc với [d]: 5y = -x + 300. Hệ số góc của đường thẳng [d] là k = 1. Ta có y = 2x – 1. Gọi M [x + y] là tiếp điểm của tiếp tuyến A.
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn [C]: $x^2+y^2-4x+8y-5=0$ và vuông góc với đường thẳng $3x-4y+5=0$
Hướng dẫn:
Tọa độ tâm I của đường tròn [C] là: $I[2;-4]$
Bán kính của đường tròn [C] là: $R=\sqrt{2^2+[-4]^2+5}=5$
Vì tiếp tuyến [$\Delta$] của đường tròn [C] vuông góc với đường thẳng [d] $3x-4y+5=0$ nên vectơ chỉ phương của đường thẳng [d] là vectơ pháp tuyến của đường thẳng [$\Delta$]
Vectơ chỉ phương của [d] là: $\vec{u_d}=[4;3]$ => vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ là: $\vec{n_{\Delta}}=[4;3]$
Đường thẳng $\Delta$ có phương trình là: $4x+3y+c=0$
Vì đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn [C] nên khoảng cách từ tâm I của đường tròn [C] tới đường thẳng $\Delta$ bằng bán kính R của đường tròn [C].
Ta có: $d[I;\Delta]=\dfrac{|4.2+3[-4]+c|}{\sqrt{4^2+3^2}}=5$
=> $\dfrac{|c-4|}{\sqrt{25}}=5$
=> $\dfrac{|c-4|}{5}=5$
=> $|c-4|=25$
=> $\left [\begin{array}{ll}c-4=25\\c-4=-25\end{array}\right.$
=> $\left [\begin{array}{ll}c=29\\c=-21\end{array}\right.$
Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn [C] là:
$4x+3y-21=0$ và $4x+3y+29=0$
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn [C]: $[x-2]^2+[y+3]^2=16$ và vuông góc với đường thẳng $x-4y+5=0$
Tọa độ tâm I của đường tròn [C] là: $I[2;-3]$
Bán kính của đường tròn [C] là: $R=4$
Vì tiếp tuyến [$\Delta$] của đường tròn [C] vuông góc với đường thẳng [d] $x-4y+5=0$ nên vectơ chỉ phương của đường thẳng [d] là vectơ pháp tuyến của đường thẳng [$\Delta$]
Vectơ chỉ phương của [d] là: $\vec{u_d}=[4;1]$ => vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ là: $\vec{n_{\Delta}}=[4;1]$
Đường thẳng $\Delta$ có phương trình là: $4x+y+c=0$
Vì đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn [C] nên khoảng cách từ tâm I của đường tròn [C] tới đường thẳng $\Delta$ bằng bán kính R của đường tròn [C].
Ta có: $d[I;\Delta]=\dfrac{|4.2-3+c|}{\sqrt{2^2+[-3]^2}}=4$
=> $\dfrac{|c+5|}{\sqrt{13}}=4$
=> $|c+5|=4\sqrt{13}$
=> $\left [\begin{array}{ll}c+5=4\sqrt{13}\\c+5=-4\sqrt{13}\end{array}\right.$
=> $\left [\begin{array}{ll}c=4\sqrt{13}-5\\c=-4\sqrt{13}-5\end{array}\right.$
Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn [C] là:
$4x+y+4\sqrt{13}-5=0$ và $4x+y-4\sqrt{13}-5=0$
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Cho đường cong $y=f[x]$ có đồ thị là [C]. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=k’x+b$.
Gọi $M[x_0;y_0$ là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến của đường cong $y=f[x]$ tại điểm $M[x_0;y_0$ là:
$y=f'[x_0][x-x_0]+y_0$
hay $y=k[x-x_0]+y_0$ với $k=f'[x_0]$
Để viết được phương trình tiếp tuyến thì các bạn cần xác định được $x_0, y_0, f'[x_0]$
Với dạng toán viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $y=f[x]$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng [d] có phương trình là: $y=k’x+b$ thì các bạn sử dụng tính chất:
$k.k’=-1$ [tích 2 hệ số góc bằng -1]
$f'[x_0].k’=-1$
$f'[x_0]=\frac{-1}{k}$
Xem thêm bài giảng:
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số $y=f[x]=2x^2+3x+1$ biết d vuông góc với đường thẳng d’: $y=x+2$.
Ta có: $f'[x]=4x+3$
Gọi $M[x_0;y_0]$ là tiếp điểm.
Khi đó: $k=f'[x_0]=4x_0+3$ và $y_0=f[x_0]=2x^2_0+3x_0+1$
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’ có hệ số góc k’=1 nên ta có:
$k.k’=-1$
$[4x_0+3].1=-1$
$4x_0+3=-1$
$x_0=-1$
- $f'[x_0] = 4.[-1]+3 = -1$
Và $y_0 = f[x_0] = 2.[-1]^2+3[-1]+1=0$
Phương trình tiếp tuyến của parabol vuông góc với đường thẳng d’ là:
$y=-1[x+1]+0$ => $y=-x-1$
Bài 2: Cho đường cong [C]: $y=\frac{1}{4}x^4-x^2+2$. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng [d]:$ x-4y+12=0$
Hướng dẫn:
$f'[x]=x^3-2x$
$y_0=f[x_0]=\frac{1}{4}x^4_0-x^2_0+2$
$k =f'[x_0]=x^3_0-2x_0$
Đường thẳng d có hệ số góc là: $k’=\frac{1}{4}$
Ta có:
$k.k’=-1$
$[ x^3_0-2x_0].\frac{1}{4}=-1$
$ x^3_0-2x_0-4=0$
$[x_0-2][x^2_0+2x_0+2]=0$ [xem thêm cách phân tích theo lược đồ hoocner ]
$x_0-2=0$
$x_0=2$y_0=f[x_0]=f[2]=2$; $f'[x_0]=f'[2]=4$
Phương trình tiếp tuyến của đường cong [C] vuông góc với đường thẳng d là:
$y=4[x-2]+2$ => $y=4x-6$
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của [C]:$y=f[x]=\frac{x-3}{x+1}$ biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng [d]: $x+2y-4 = 0$
Hướng dẫn:
Ta có: $y’=f'[x]=\frac{2}{[x+1]^2}$; $y_0=f[x_0]= ]=\frac{x_0-3}{x_0+1}$
$ k=f'[x_0]=\frac{2}{[x_0+1]^2}$
Đường thẳng d có hệ số góc là: $k’=\frac{-1}{2}$
Ta có:
$k.k’=-1$
$\frac{2}{[x_0+1]^2}.\frac{-1}{2}=-1$
$\frac{2}{[x_0+1]^2}=2$
$[x_0+1]^2=1$
$x_0+1=1$ hoặc $x_0+1=-1$
$x_0=0$ hoặc $x_0=-2$
Hệ số góc của tiếp tuyến là $k=2$
Với $x_0=0$ => $y_0 = f[0]=-3$. Phương trình tiếp tuyến của [C] là:
$y=2[x-0]-3$ => $y=2x-3$
Với $x_0=-2$ => $y_0=f[-2]=5$. Phương trình tiếp tuyến của [C] là:
$y=2[x+2]+5$ => $y=2x+9$
Bài tập viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d cho trước.
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của [C]: $y=f[x]=\frac{x+2}{x+3}$ biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng [d]: $x+4y-1 = 0$
Bài 2: Cho đường cong [C]:$y=\frac{1}{4}x^4+2x-3$. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] biết: a.Tiếp tuyến có hệ số góc k = 3.
b.Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng [d]: $x-6y+5=0$