Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Cho tam giác \[OAB\]. Gọi \[M\] và \[N\] lần lượt là trung điểm của \[OA\] và \[OB\]. Tìm các số \[m, n\] sao cho:
LG a
\[\overrightarrow {OM} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \]
Phương pháp giải:
Biểu diễn\[\overrightarrow {OM} \] qua \[\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \] suy ra m, n.
Lời giải chi tiết:
Ta có: M là trung điểm của OA nên:
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} = \frac{1}{2}.\overrightarrow {OA} + 0.\overrightarrow {OB} \\
\Rightarrow m = \frac{1}{2},n = 0
\end{array}\]
Cách trình bày khác:
Ta có: \[\overrightarrow {OM} = {1 \over 2}\overrightarrow {OA} \]
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow {OM} = n\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB}\\ \Rightarrow m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} \\
\Leftrightarrow m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \left[ {m - \frac{1}{2}} \right]\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m - \frac{1}{2} = 0\\
n = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = \frac{1}{2}\\
n = 0
\end{array} \right..
\end{array}\]
Vậy \[m = {1 \over 2}; \, \, n = 0.\]
LG b
\[\overrightarrow {AN} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \]
Lời giải chi tiết:
Ta có: N là trung điểm OB nên \[\overrightarrow {ON} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} \].
Khi đó,
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OA} \\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \\
= \left[ { - 1} \right].\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}.\overrightarrow {OB} \\
\Rightarrow m = - 1,n = \frac{1}{2}
\end{array}\]
Cách khác:
Ta có: vì \[N\] là trung điểm \[OB\]
\[\eqalign{
& 2\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {AB} \cr
& \Rightarrow 2\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} \cr
& \Rightarrow 2\overrightarrow {AN} = 2\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB}\cr& \Rightarrow \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {OA} + {1 \over 2}\overrightarrow {OB} \cr} \]
\[ \Leftrightarrow m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} = - \overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} \]
\[\Leftrightarrow m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} - \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ {m + 1} \right]\overrightarrow {OA} + \left[ {n - \frac{1}{2}} \right]\overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 1 = 0\\
n - \frac{1}{2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = - 1\\
n = \frac{1}{2}
\end{array} \right..
\end{array}\]
Vậy \[m = - 1; \, \, n = {1 \over 2}.\]
LG c
\[\overrightarrow {MN} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} \\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} \\
= - \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} \\
\Rightarrow m = - \frac{1}{2},n = \frac{1}{2}
\end{array}\]
Cách khác:
\[\eqalign{ \, \,& \overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\overrightarrow {AB}\cr& \Rightarrow \overrightarrow {MN} = {1 \over 2}[\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} ] \cr & \Rightarrow \overrightarrow {MN} = - {1 \over 2}\overrightarrow {OA} + {1 \over 2}\overrightarrow {OB} \cr} \]
\[ \Leftrightarrow m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB}\]
\[ \Leftrightarrow m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} - \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ {m + \frac{1}{2}} \right]\overrightarrow {OA} + \left[ {n - \frac{1}{2}} \right]\overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + \frac{1}{2} = 0\\
n - \frac{1}{2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = - \frac{1}{2}\\
n = \frac{1}{2}
\end{array} \right..
\end{array}\]
Vậy \[m = - {1 \over 2}, \, \, n = {1 \over 2}.\]
LG d
\[\overrightarrow {MB} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OM} \\
= \overrightarrow {OB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} \\
= - \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \\
\Rightarrow m = - \frac{1}{2},n = 1
\end{array}\]
Cách khác:
Vì M là trung điểm AO nên ta có:
\[\eqalign{
& 2\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BO}\cr& \Rightarrow 2\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} \cr
& \Rightarrow 2\overrightarrow {BM} = 2\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA}\cr& \Rightarrow 2\overrightarrow {MB} = - \overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MB} = - {1 \over 2}\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \cr} \]
\[ \Leftrightarrow m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \]
\[\Leftrightarrow m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ {m + {1 \over 2} } \right]\overrightarrow {OA} + \left[ {n - 1} \right]\overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + \frac{1}{2} = 0\\
n - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = - \frac{1}{2}\\
n = 1
\end{array} \right..
\end{array}\]
Vậy \[m = - {1 \over 2}, \, \, n = 1.\]