Ta có \[\int\limits_0^b {\left[ {x - {x^2}} \right]} dx = \left. {\left[ {{{{x^2}} \over 2} - {{{x^3}} \over 3}} \right]} \right|_0^b = {{{b^2}} \over 2} - {{{b^3}} \over 3}\]
Đề bài
Xác định số b dương để tích phân \[\int\limits_0^b {\left[ {x - {x^2}} \right]dx} \]có giá trị lớn nhất.
Lời giải chi tiết
Ta có \[\int\limits_0^b {\left[ {x - {x^2}} \right]} dx = \left. {\left[ {{{{x^2}} \over 2} - {{{x^3}} \over 3}} \right]} \right|_0^b = {{{b^2}} \over 2} - {{{b^3}} \over 3}\]
Xét hàm số \[I\left[ b \right] = {{{b^2}} \over 2} - {{{b^3}} \over 3}\] với \[b>0\]
ta có
\[\eqalign{
& I'\left[ b \right] = b - {b^2} \cr
& I'\left[ b \right] = 0 \Leftrightarrow b = 0;b = 1 \cr} \]
Bảng biến thiên
\[ I[b]\] đạt giá trị lớn nhất bằng \[{1\over 6}\] khi \[b=1\]