Đề bài
Cho vectơ \[\overrightarrow u \]tùy ý khác \[\overrightarrow 0 \]. Chứng minh rằng \[{\cos ^2}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right] + {\cos ^2}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right] \] \[+ {\cos ^2}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right] = 1\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tính cô sin góc giữa hai véc tơ \[\cos \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\]
Lời giải chi tiết
Giả sử \[\overrightarrow u = \left[ {x;y;z} \right]\]ta có:
\[\cos \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right] = {{\overrightarrow u .\overrightarrow i } \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}} = {x \over {\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }} \] \[\Rightarrow {\cos ^2}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right] = {{{x^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\]
Tương tự: \[{\cos ^2}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right] = {{{y^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\] và \[{\cos ^2}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right] = {{{z^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\].
Vậy
\[{\cos ^2}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right] + {\cos ^2}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right] \] \[+ {\cos ^2}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right] = {{{x^2} + {y^2} + {z^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = 1\]