- LG a
- LG b
Giải phương trình
LG a
\[\left[ {{1 \over 3}} \right] ^x= x + 4\,;\]
Lời giải chi tiết:
Với \[x < -1\] ta có:
\[\begin{array}{l}
VT = {\left[ {\frac{1}{3}} \right]^x} > {\left[ {\frac{1}{3}} \right]^{ - 1}} = 3\\
VP = x + 4 < - 1 + 4 = 3
\end{array}\]
Do đó \[{\left[ {{1 \over 3}} \right]^{ x}} > 3 > x + 4\] nên phương trình không có nghiệm \[x < -1\]
Với \[x > -1\] ta có:
\[\begin{array}{l}
VT = {\left[ {\frac{1}{3}} \right]^x} < {\left[ {\frac{1}{3}} \right]^{ - 1}} = 3\\
VP = x + 4 > - 1 + 4 = 3
\end{array}\]
Do đó \[{\left[ {{1 \over 3}} \right]^x} < {\left[ {{1 \over 3}} \right]^{ - 1}} = 3 < x + 4\] nên phương trình không có nghiệm \[x > -1\]
Dễ thấy với x=-1 thì \[VT=3=VP\].
Vậy \[S = \left\{ { - 1} \right\}\]
LG b
\[{\left[ {\sin {\pi \over 5}} \right]^x} + {\left[ {\cos {\pi \over 5}} \right]^x} = 1.\]
Lời giải chi tiết:
Do \[ 0 < \sin {\pi \over 5} < 1\] và \[0 < \cos {\pi \over 5} < 1\] nên:
Nếu \[x > 2\] thì:
\[{\left[ {\sin {\pi \over 5}} \right]^x} < {\left[ {\sin {\pi \over 5}} \right]^2}\]
\[{\left[ {\cos {\pi \over 5}} \right]^x} < {\left[ {\cos {\pi \over 5}} \right]^2}\]
\[ \Rightarrow {\left[ {\sin {\pi \over 5}} \right]^x} + {\left[ {\cos {\pi \over 5}} \right]^x}\]
\[ 2\]
Nếu \[x < 2\] thì:
\[{\left[ {\sin {\pi \over 5}} \right]^x} > {\left[ {\sin {\pi \over 5}} \right]^2}\]
\[{\left[ {\cos {\pi \over 5}} \right]^x} > {\left[ {\cos {\pi \over 5}} \right]^2}\]
\[ \Rightarrow {\left[ {\sin {\pi \over 5}} \right]^x} + {\left[ {\cos {\pi \over 5}} \right]^x}\]
\[>{\left[ {\sin \frac{\pi }{5}} \right]^2} + {\left[ {\cos \frac{\pi }{5}} \right]^2}=1\]
Do đó VT > VP nên phương trình không có nghiệm khi \[x < 2\]
Dễ thấy với x=2 thì VT=VP=1 nên x=2 là nghiệm của phương trình.
Vậy \[S = \left\{ 2 \right\}\]