- LG a
- LG b
LG a
Chứng minh rằng nếu \[f\left[ x \right] \ge 0\]trên \[\left[ {a;b} \right]\]thì \[\int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx \ge 0.} \]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tích phân Leibnitz \[\int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} = F\left[ b \right] - F\left[ a \right]\]
Lời giải chi tiết:
Nếu \[f\left[ x \right] = 0\] thì \[\int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} = \int\limits_a^b {0dx} = \left. C \right|_a^b = 0\]
Nếu \[f\left[ x \right] > 0\], gọi F[x] là một nguyên hàm của f[x] trên đoạn [a; b].
Ta có: F[x] = f[x] > 0 trên đoạn [a; b] nên F[x] đồng trên đoạn [a; b]
Mà a < b \[ \Rightarrow \] F[a] < F [b].
\[ \Rightarrow \int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} = F\left[ b \right] - F\left[ a \right] > 0\].
Vậy \[\int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} \ge 0\].
LG b
Chứng minh rằng nếu \[f\left[ x \right] \ge g\left[ x \right]\]trên \[\left[ {a;b} \right]\]thì \[\int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} \ge \int\limits_a^b {g\left[ x \right]dx} .\]
Lời giải chi tiết:
Trên đoạn [a, b] ta có; f[x] > g[x] nên f[x ] g[x] \[ \ge \] 0.
Theo câu a, ta có: f[x ] g[x] \[ \ge \] 0, nên
\[\int\limits_a^b {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx} \ge 0\] \[ \Leftrightarrow \int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} - \int\limits_a^b {g\left[ x \right]dx} \ge 0\] \[ \Leftrightarrow \int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} \ge \int\limits_a^b {g\left[ x \right]dx} \].
Vậy \[\int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} \ge \int\limits_a^b {g\left[ x \right]dx} \].