Đề bài
Cho số phức \[{\rm{w}} = - {1 \over 2}\left[ {1 + i\sqrt 3 } \right]\]. Tìm các số nguyên dương n để \[{{\rm{w}}^n}\] là số thực. Hỏi có chăng một số nguyên dương m để \[{{\rm{w}}^m}\]là số ảo?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Biến đổi w về dạng lượng giác.
- Sử dụng công thức Moa-vrơ tính \[w^n\]
\[\begin{array}{l}
z = r\left[ {\cos \varphi + \sin \varphi } \right]\\
\Rightarrow {z^n} = {r^n}\left[ {\cos n\varphi + i\sin n\varphi } \right]
\end{array}\]
Lời giải chi tiết
Ta có: \[\rm{w} = - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i \] \[= \cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}\]
Suy ra \[{\rm{w}^n} = \cos {{4\pi n} \over 3} + i\sin {{4\pi n} \over 3}\]
\[{\omega ^n}\]là số thực \[ \Leftrightarrow \sin {{4n\pi } \over 3} = 0 \Leftrightarrow {{4n\pi } \over 3} = k\pi \,\,\left[ {k \in \mathbb Z} \right]\]
\[ \Leftrightarrow 4n = 3k \]
\[ \Leftrightarrow k = \frac{{4n}}{3} = n + \frac{n}{3} \in \mathbb{Z} \Rightarrow n \vdots 3\]
Vậy n chia hết cho 3 [n nguyên dương]
\[{\rm{w} ^m}\][m nguyên dương] là số ảo \[ \Leftrightarrow \cos {{4m\pi } \over 3} = 0\] \[ \Leftrightarrow {{4m\pi } \over 3} = {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left[ {k \in \mathbb Z} \right]\]
\[ \Leftrightarrow 8m = 6k + 3\] [vô lí vì vế trái chẵn, vế phải lẻ].
Vậy không có số nguyên dương m để \[{\rm{w} ^m}\]là số ảo.