Bài tập về đường thẳng p và d tiếp xúc năm 2024
|
Bước 1. Biết hoành độ của điểm A và B , đồng thời A và B cùng thuộc (P) nên tính được tung độ điểm A và B. Từ đó viết phương trình đường thẳng AB.
Trình bày lời giải Tung độ của điểm A là Tung độ của điểm B là Gọi phương trình đường thẳng AB là Suy ra : Vậy phương trình đường thẳng AB là (d) song song với AB nên (d) tiếp xúc với Parabol có nghiệm kép có nghiệm kép Vậy với thì đường thẳng tiếp xúc với Parabol (P) và song song với đường thẳng AB Ví dụ 3:Trong cùng một hệ tọa độ , cho đường thẳng và Parabol (P): . Gọi A và B là giao điểm của d và (P)
(Thi học sinh giỏi Toán 9,Tỉnh Thanh Hóa năm 2011-2012) Giải
Độ dài đoạn thẳng AB là : (đvđd)
nghiệm phân biệt Đặt thì là nghiệm của phương trình : Theo hệ thức Vi-et ta có : Vì thuộc (d) nên
Vậy với thì đường thẳng cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho Ví dụ 4:Cho Parabol và đường thẳng
Sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất
Giải Tìm cách giải
Hướng 1 . Vì A, B đã biết nên phương trình đường thẳng AB là viết được và độ dài đoạn thẳng AB xác định được . Mặt khác vì tập hợp điểm M chỉ trên cung của (P) nên để diện tich tam giác MAB lớn nhất chúng ta cần xác định khoảng cách từ M đến AB là lớn nhất . Từ đó chúng ta nghĩ tới việc viết đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) và song song với (d) là : . Khi đó cung của (P) chỉ nằm giữa (d) và nên khoảng cách từ M đến AB là lớn nhất khi M trùng với tiếp điểm và (P) Hướng 2 . Gọi C,D, N lần lượt là hình chiếu của B, A, M trên trục hoành . Khi đó ABCD, AMND , BCNM là hình thang và ABCD có diện tích xác định.Để diện tích tam giác MAB lớn nhất khi và chỉ khi tổng diện tích AMND và BCMN có diện tích nhỏ nhất . Vậy ta tính tất cả cách diện tích hình thang trên theo tọa độ đã biết và m. Trình bày lời giải
Vì nên : tiếp xúc với phương trình hoành độ giao điểm hay có nghiệm kép
Khi đó , phương trình là . Tiếp điểm có hoành độ là nghiệm kép của phương trình: Tọa độ tiếp điểm là Kẻ . Ta có : . Do đó AB không đổi nên lớn nhất lớn nhất trùng với
Suy ra Do đó . Lấy đối xứng với qua Ox , ta có khi đó
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi thẳng hàng . Suy ra điểm N cần tìm chính là giao điểm của và trục Ox . Gọi phương trình của đường thẳng có dạng . Do và thuộc đường thẳng nên :
Phương trình của là : Suy ra tọa độ của N là nghiệm của hệ : vậy Ví dụ 5:Cho Parabol và đường thẳng với .Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác OAB là tam giác vuông tại O Giải Tìm cách giải. Những bài toán về tọa độ liên quan đến khoảng cách , góc vuông thông thường chúng ta nghĩ tới vận dụng hệ thức Vi-ét . Do vậy , để giải quyết bài toán này :
Từ đó chúng ta có lời giải sau: Trình bày lời giải Gọi thì là nghiệm của phương trình :
(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt Theo hệ thức Vi-et ta có : Vì thuộc (d) nên:
vuông tại
Kết hợp với điều kiện thì thỏa mãn , ta có (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm A,B phân biệt cho tam giác OAB là tam giác vuông tại O
20.1.Cho hàm số . Tìm các giá trị của m để đường thẳng phương trình cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt thỏa mãn (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Bắc Giang năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải – đáp số Vì thuộc (d) nên:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt Theo hệ thức Vi-et:
Hay (thỏa mãn) Vậy với thì đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt thỏa mãn 20.2. Cho Parabol (P): và đường thẳng (m là tham số)
(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Bình Phước năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải – đáp số
có nghiệm kép
đúng với mọi Ta có thỏa mãn nên thuộc Parabol (P) 20.3. Cho hàm số
Hướng dẫn giải – đáp số
Nên nghịch biến trong khoảng và đồng biến trong khoảng
20.4. Cho đường thẳng (m là tham số) và Parabol
Hướng dẫn giải – đáp số
Điểm I đó thuộc
Có với mọi m, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt . Vì vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Do đó: Nhận thấy :
(luôn đúng với mọi m ) nên suy ra điều phải chứng minh 20.5.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho Parabol và đường thẳng (d) có phương trình (m là tham số)
(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Bình Định năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải – đáp số
Vậy đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B
Xét 20.6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho Parabol và hai điểm nằm trên (P) . Gọi M là điểm thay đổi trên (P) có hoành độ là Tìm m để diện tích tam giác AMB lớn nhất (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Thái Bình năm học 2011-2012) Hướng dẫn giải – đáp số có hoành độ là m , suy ra tung độ là Gọi C, D, N là hình chiếu của B, A, M trên trục hoành thì : Diện tích hình thang ABCD là : (đv.dt) Diện tích hình thang AMND là: (đv.dt) Diện tích hình thang BCNM là : (đv.dt) Suy ra diện tích tam giác AMB là:
Vậy diện tích tam giác AMB lớn nhất là 8 (đv.dt) khi 20.7. Cho Parabol . Trên (P) lấy hai điểm sao cho (O là gốc tọa độ).Hình chiếu vuông góc của trên trục hoành lần lượt là Chứng minh rằng (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hưng Yên, năm học 2011-2012) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt thì Vì nên
Vì khác O nên loại , do đó Vậy Điều phải chứng minh 20.8. Cho Parabol
|
