- LG a
- LG b
- LG c
Cho đường thẳng \[d:x - y + 2 = 0\]và điểm A[2, 0]
LG a
Với điều kiện nào của x và y thì điểm M[x, y] thuộc nửa mặt phẳng có bờ d và chứa gốc tọa độ O? Chứng minh điểm A nằm trong nửa mặt phẳng đó.
Lời giải chi tiết:
Điểm M[x;y] và O[0;0] nằm cùng phía đối với d khi và chỉ khi
\[[x - y + 2].[0 - 0 + 2] > 0\] \[ \Leftrightarrow x - y + 2 > 0\]
Xét A[2;0] và O[0;0] ta có: \[[{x_A} - {y_A} + 2][0 - 0 + 2]\]\[ = [2 - 0 + 2].2 = 8 > 0\],
Do đó A và O nằm cùng phía so với d hay A nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là d và chứa O.
LG b
Tìm điểm đối xứng với điểm O qua đường thẳng d.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\overrightarrow {{n_d}} = \left[ {1; - 1} \right] \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \left[ {1;1} \right]\]
Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với d.
d' qua O[0;0] và nhận \[\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {1;1} \right]\] làm VTPT nên phương trình tổng quát của d là \[d: x+y=0\].
Gọi H là hình chiếu của O lên d thì tọa độ H là nghiệm của hệ:
\[\left\{ \matrix{
x - y = - 2 \hfill \cr
x + y = 0 \hfill \cr} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[H[-1, 1]\]
Gọi O là điểm đối xứng của O qua d thì H là trung điểm của OO do đó
\[\left\{ \matrix{
{x_H} = {{{x_O} + {x_{O'}}} \over 2} \hfill \cr
{y_H} = {{{y_O} + {y_{O'}}} \over 2} \hfill \cr} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_{O'}} = 2{x_H} - {x_O} = - 2 \hfill \cr
{y_{O'}} = 2{y_H} - {y_O} = 2 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[O'[-2, 2]\]
LG c
Tìm điểm M trên d sao cho chu vi tam giác OMA nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
OA không đổi nên chu vi tam giác AMO nhỏ nhất khi tổng MO+MA nhỏ nhất.
Ta có: \[MO = MO'\] \[\Rightarrow MO + MA = MO' + MA \ge AO'\]
\[ \Rightarrow \,\,MO + MA\]nhỏ nhất khi A, M, O thẳng hàng , khi đó M là giao điểm của d với đường thẳng OA.
Phương trình OA :
\[\eqalign{
& {{x - {x_A}} \over {{x_{O'}} - {x_A}}} = {{y - {y_A}} \over {{y_{O'}} - {y_A}}} \cr
& {{x - 2} \over { - 2 - 2}} = {{y - 0} \over {2 - 0}} \cr &\Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0 \cr} \]
Tọa độ M là nghiệm của hệ:
\[\left\{ \matrix{
x - y = - 2 \hfill \cr
x + 2y = 2 \hfill \cr} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - {2 \over 3} \hfill \cr
y = {4 \over 3} \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[M\left[ { - {2 \over 3}\,;\,{4 \over 3}} \right]\]